函数概念是怎样被理解的

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1、函数概念是怎样被理解的王新民作者简介：王新民（1962—），男，汉族，甘肃敦煌人，副教授，主要从事数学教育与数学文化研究．（内江师范学院数学与信息科学学院）王富英(成都市龙泉驿区教育研究培训中心)李春燕（四川省成都经开区实验高级中学）摘要：从学习者的视角，通过对以学案为载体、以学生讲解为主要学习环节的教学案例的分析，揭示初中学生理解函数概念的认知过程：个别的看、重复的看、想象的看、一般的看和应用的看．其中，在“个别的看”中形成“一般的看”的态度；在“重复的看”中概括“共同性印象”；在“想象的看”中超越经验事例

2、；在“一般的看”中形成函数定义；在“应用的看”将函数定义内化为一种心理实体．它们构成了函数概念形成过程中的认知连续体，每一个阶段都是不可或缺的，前一个阶段是后一个阶段的基础，而后一个阶段是对前一个阶段的超越．关键词：函数概念；理解；学案设计；认知分析1问题提出函数概念是中学数学中最为核心的概念，也是数学学习中最难以理解的概念之一。长期以来，为了突破这一教学难点，理论研究者与一线教师可以说是煞费苦心，想尽了办法，可是效果总是差强人意。有调查显示[1]：（1）初三学生并不用“一个x对应唯一一个y”来判断某种对应关

3、系是否为函数；（2）高一学生在对利用定义判断图像所反映的y和x的关系是否是函数关系这个问题时，只有21%的学生做出了正确的回答。在另一项调查中发现[2]：高二与高三的学生对函数的定义实质大多模糊不清；对于问题“y=±2x是否是函数”及“方程y2=4x的曲线是否为函数的图像”，有过半的学生或答错或不置可否。然而，类似的问题却在一节初中函数概念学习的起始课上，由初二的学生给出了精彩的解答。请看下面所展示的课堂学习中学生讲解的片段。学案设计：①下面这个表格是否表示y是x的函数？为什么？x2345y±2±3yxO±4

4、±5②下面这个图象是否表示y是x的函数？为什么？③等式是否表示y是x的函数？为什么？④上面三个问题，如果不是函数，分别如何改正，才能使得y是x的函数？学生讲解（讲解的学生来自于不同的学习小组，“生1”表示的是第1小组的学生，其它类同）：生4：第①题中的表格是否表示y是x的函数？我们小组认为这道题中，y不是x的函数，因为每给定一个x的值，相应的就确定了两个y的值，如，x=2时，y的值为2和-2，不符合“结果只能是唯一的”，所以y不是x的函数。生5：请同学们看第②题，这个图象是否表示y是x的函数？我们的答案是否定

5、的。将这个圆沿垂直x轴方向切一刀（生5在黑板上形象的划了“一刀”），这条直线与x轴有一个交点，与圆有两个交点，而这两个交点对应两个y值，所以y不是x的函数。生6：请大家看第③题，这道题中，y不是x的函数，因为当x=0时，y=0，此时一个x的值对应唯一一个y值0；但是，当x取任意一个非零实数时，x值都对应了两个互为相反数的y值，所以y不是x的函数。生7：我们先来看第①题和第③题是如何修改的。根据函数的定义我们知道给定一个x的值，只能对应唯一的一个y值，所以在第①题的表格中，我们只需要去掉表格中的“+”或“－”，

6、那么y就是x的函数了；第③题也可以直接去掉等式中的“+”或“－”，y就是x的函数了。下面我们来看看第②题如何修改。我们擦去上半圆或下半圆，那么剩下的图像上每个点都只对应着一个y值了，那么y就是x的函数了（她边说边在黑板上做着修改）。生1：我把第①题的表格中所有的y值都改成1（他边说边上台用粉笔修改，此时，教室里开始叽叽喳喳的小声议论起来了较多有的人说不对，有几个人说对）。定义里说的是给定一个x的值，只能对应唯一的一个y值，这里每个x的值，都只对应唯一的一个y值。生1*（第一组的另一个学生）：对于第②题，我们组

7、是擦去左半圆或右半圆（她话刚一说完，全班哗然，包括她身边的同学都在说她！）。生7*：我们认为第1组的修改是错的。因为剩下的那个半圆的两个端点所对应的x值是相同的，但是它们所对应的y值却是不同的两个值。我们可以过圆心作x轴和y轴的垂线，将圆平均分成四份，然后任意擦去3份，剩下的图像就表示y是x的函数了。生10：第七组的同学的确讲得很好，我们组也有一种不同的修改，在第七组同学的基础上，我们擦去上半圆的右半部分和下半圆的左半部分，再擦去上半圆的最高点，剩下的图像就可以表示y是x的函数了（一边说，一边在黑板上画出图形

8、，同学们一目了然）。面对好多高中学生都不能解答的问题，这些刚刚接触函数概念的初中学生的讲解，不能不说是特别的精彩！在学习的过程中，既没有可供模仿的例题，也没有进行相关的针对性训练，因此，有理由说，学生的这些精彩表现只能来自于他们对函数概念深刻的理解。那么，函数概念是如何被学生理解的？以下将从学习者的视角，通过对以学案为载体、以学生讲解为主要学习环节的教学案例的分析，揭示初中学生理解函数概念的认知过程