浅谈数学概念的教学.doc

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1、浅谈数学概念的教学任何学科的学习，就其实质而言，都是其思维方式的建构或转变，而概念则是思维方式建构或转变的基石。数学学习也毫不例外。由此可见，数学概念教学之于数学教育的重要性。本文将仅就数学概念教学的三个基本问题，即如何理解数学概念、如何设计数学概念、如何具体教授数学概念，做些初步的探讨，期望能够为一线教师提供一些帮助。一、如何理解数学概念？就数学概念的理解而言，可有这样几个层面的思考：逻辑的、数学史的、教育心理学的、数学心理学的等。这些层面的思考对数学概念教学都各有其不同寻常的作用，可常思考。依逻辑而论，数学

2、概念一般都有其内涵与外延之限定。数学概念是对客观世界中各种“事物的量”[1]的思维反映。其内涵就是“事物的量”，而其外延则是“事物的量”的范围。譬如，“数”之概念，其内涵就是“事物的数量关系”，其外延则是“事物的数量关系”之所有；再譬如，“形”之概念，其内涵就是“事物的空间形式”，其外延则是“事物的空间形式”之所有。“事物的数量关系”和“事物的空间形式”都是“事物的量”。至于具体的“数量关系”和“空间形式”就更是如此了。譬如，自然数，其外延就是皮亚诺公理[2]所界定的对象之全部N，其内涵则是“皮亚诺公理”；再譬

3、如，梯形，其内涵就是“只有一组对边平行的四边形”，其外延则是具有“只有一组对边平行”这一性质的所有四边形。此外，数学概念的内涵与外延之间还具有反变关系，即某一数学概念内涵的增加必然导致其外延的缩小，其内涵的减少必然导致其外延的扩展；反之亦然。这些都是数学概念学习的逻辑前提，不可违背。据数学史而言，数学概念的内涵和外延一般都是发展变化而不是一成不变的。譬如，仅就“数”的概念发展来说，自然数的概念最早就不包括“0”，因为“空无一物”就无所谓“多少”之“数量关系”，但随着人们认识的深入，“空无一物”即是“无物”便也就

4、是“现实”的“最少”之“多少”“数量关系”；“负数”也曾不属于“数”的范畴，因为现实从不欠账，但现实中“相反意义”的量的存在却给予“负数”以更加“现实的价值”；现实中各种相关量之间的“比较”使得“分数”成为“有理数”，而“无理数”之名称就业已表明其相对于“有理数”之“整数之比”的“毫无道理”；“数”的概念发展至此，便开始走向“纯粹的”人的自由的创造阶段，因为“除了自然数之外，其它一切（数）都是人创造的”：无理数、虚数、四元数、……这些都是相关数学概念学习的历史文化境遇，不可超越。其实，就某一具体的数学概念而言，

5、其内涵和外延的发展变化可能也是如此。譬如，就“梯形”而言，其内涵为什么就不能是“有一组对边平行的四边形”而只能是“只有一组对边平行的四边形”呢？而若果真如此，那么，“梯形”的外延就被改变了：原来平行四边形不属于梯形，而现在平行四边形不仅“变成”了梯形，而且还是等腰梯形；问题是，我们需要这样的“发展变化”吗？当然需要，因为“传统的定义”直接源自人们的生产经验：水渠或堤坝的横截面等，而“改变后的定义”则直接源自“人们的自由创造”，更具有数学的和“逻辑的”美感：简单与内在的逻辑“蕴涵”。（具体可参见图1和图2）由此也

6、足可见，数学的“人为”性和“为人”性，即数学的人文性，而非仅见其科学性。正方形长方形菱形鳶形平行四边形四边形等腰梯形梯形图1“有一组对边平行的四边形”之“梯形”定义下的各种特殊四边形之间的关系与结构梯形四边形菱形长方形正方形鳶形平行四边形等腰梯形图2“只有一组对边平行的四边形”之“梯形”定义下的各种特殊四边形之间的关系与结构我们相信，依据上述两种“各种特殊四边形之间的关系与结构”示意图，我们的老师可以自行推断出如下结论：(1)两种示意图都是从最特殊的四边形“正方形”或“等腰梯形”逐步“一般化”而形成的；(2)“

7、箭头”起始处的“特殊四边形”肯定是其终止处的“特殊四边形”，但反之则不然，譬如，菱形肯定是平行四边形，但反过来，平行四边形不能肯定就是菱形；(3)因此，“箭头”终止处的“特殊四边形”所具有的性质，其起始处的“特殊四边形”也肯定都具有，但反之则不然，譬如，平行四边形所具有的性质菱形肯定都具有，但反过来，菱形所具有的性质平行四边形则不一定都具有；(4)两种示意图中的梯形之定义是不一样的，一个是“有一组对边平行的四边形”，而另一个则是“只有一组对边平行的四边形”。那么，就“特殊四边形”的知识结构和认知结构及其关系而言

8、，我们应该选择梯形的哪一种定义更好呢？或者说，哪一种选择更具有数学的“味道”呢？对此，我们老师是否可以引导学生展开讨论、交流、协商并最后确定选择其中的某一种呢？[3]根据教育心理学研究之成果，数学概念的学习（即概念内涵的获得与外延的明确）有概念形成和概念同化之不同。所谓概念形成是指，从大量实例出发，以学生的感性经验为基础，形成表象，归纳、抽象、概括出事物的某类“本质”属性，并提出各种假