华东师大数学分析答案

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1、第四章函数的连续性第一节连续性概念1．按定义证明下列函数在其定义域内连续：（1）；（2）。证：（1）的定义域为，当时，有由三角不等式可得：，故当时，有对任意给的正数，取则，当且时，有可见在连续，由的任意性知：在其定义域内连续。(2)的定义域为对任何的，由于，从而对任给正数，取，当时，有故在连续，由的任意性知，在连续。2．指出函数的间断点及类型：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）解：（1）在间断，由于不存在，故是的第二类间断点。（2）在间断，由于，故是的跳跃间断点。（3）在间断，由于，故是的可去间断点。（4）在间

2、断，由于，，故是的可去间断点。（5）在间断，由于，，，故是的跳跃间断点。（6）在的点间断且若，则不存在，故是的第二类间断点。（7）在及间断，且，不存在，故是的第二类间断点。又因，，故是的跳跃间断点。3．延拓下列函数，使在上连续：（1）；（2）；（3）。解：（1）当时，没有定义，而==12于是函数是的延拓，且在上连续。（2）当时，没有定义，而=，于是函数是的延拓，且在上连续。（3）当时，没有定义，而=，于是函数是的延拓，且在上连续。4．若在点连续，则，是否也在连续？又若或在上连续，那么在上是否连续？解：（1）若在点连续，则与在连续。

3、（i）在点连续。事实上，由于在点连续，从而对任给正数，存在正数，当时，有，而故当时，有，因此在点连续。（ii）在点连续。事实上，由于在点连续，从而由局部有界性知：存在及使当时，有，（1）有连续性定义知：对任给正数，存在正数，当有（2）先取，则当，上（1）与（2）式同时成立，因此故在点连续。（2）逆命题不成立。例如设，则，均为常数，故是连续函数，但在任一点都不连续。5．设当时，，而，试证与这两个函数中至多有一个在连续。证明：（反证）假设与均在连续，则，，又因时，，于是，从而这与相矛盾。故与这两个函数中至多有一个在连续。6．证明：设为

4、区间上的单调函数，且为的间断点，则必是的第一类间断点。证：不妨设为区间上的递增函数，于是当，且时，，从而由函数极限的单调有界定理可知：存在，且=同理可证存在，且=因此，是的第一类间断点。7．设函数只有可去间断点，定义，证明为连续函数。证：设的定义域为区间，则在上处处有定义（因只有可去间断点，从而极限处处存在），任取，下证在连续。由于且（），从而对任给正数，存在正数，当时有，任取，则必存在。于是当时，由不等式性质知因此当时，有，故在处连续。8．设为上的单调函数，定义，证明函数在上每点都连续。证：由于为上的单调函数，故只有第一类间断点

5、，故右极限处处存在。于是处处有定义，任取，下证在右连续。由于=且=，（）从而对任给正数，存在正数，当时，有，任取，则必存在。于是当时，上不等式成立。由极限不等式性质知因此当时，有，故在处右连续。9．举出定义在上符合下列要求的函数：（1）在和三点连续的函数；（2）只在和三点连续的函数；（3）只在上间断的函数；（4）仅在右连续，其它点均不连续的函数。解：（1）；（2）（3）；（4）