高考数学专题闯关教学导数及其应用共张

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1、导数及其应用主干知识整合1．导数的几何意义函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)就是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，即k＝f′(x0)．3．复合函数求导复合函y＝f(g(x))的导数和y＝f(u)，u＝g(x)的导数之间的关系为gx′＝f′(u)g′(x)．4．函数的单调性与导数的关系在区间(a，b)内，如果f′(x)>0，那么函数f(x)在区间(a，b)上单调递增；如果f′(x)<0，那么函数f(x)在区间(a，b)上单调递减．5．函数的单调性与极值的关系一般地，对于函数y＝f(x)，且

2、在点a处有f′(a)＝0.(1)若在x＝a附近的左侧导数小于0，右侧导数大于0，则f(a)为函数y＝f(x)的极小值．(2)若在x＝a附近的左侧导数大于0，右侧导数小于0，则f(a)为函数y＝f(x)的极大值．6．利用定积分求曲边梯形的面积高考热点讲练导数的几何意义例1设f(x)＝xlnx＋1，若f′(x0)＝2，则f(x)在点(x0，y0)处的切线方程为________．【答案】2x－y－e＋1＝0【归纳拓展】求曲线切线方程的步骤是：(1)求出函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数，即曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x

3、0))处切线的斜率；(2)在已知切点坐标P(x0，f(x0))和切线斜率的条件下，求得切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)·(x－x0)．注意：①当曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线平行于y轴(此时导数不存在)时，由切线定义可知，切线方程为x＝x0；②当切点坐标未知时，应首先设出切点坐标，再求解．已知a∈R，函数f(x)＝(－x2＋ax)ex(x∈R，e为自然对数的底数)．(1)当a＝2时，求函数f(x)的单调递增区间；(2)若函数f(x)在(－1,1)上单调递增，求a的取值范围．导数与函数的单调性例2

4、【归纳拓展】利用导数研究函数单调性的一般步骤：(1)确定函数的定义域；(2)求导数f′(x)；(3)①若求单调区间(或证明单调性)，只需在函数f(x)的定义域内解(或证明)不等式f′(x)>0或f′(x)<0.②若已知f(x)的单调性，则转化为不等式f′(x)≥0或f′(x)≤0在单调区间上恒成立问题求解．变式训练2设函数f(x)＝x3－3ax＋b(a≠0)．(1)若曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处与直线y＝8相切，求a，b的值；(2)求函数f(x)的单调区间与极值点．导数与函数的极值(最值)例3f′(x)，f(x

5、)随x的变化情况如下表：x(0,1)1(1，＋∞)f′(x)－0＋f(x)极小值【归纳拓展】利用导数研究函数的极值的一般步骤：(1)确定定义域．(2)求导数f′(x)．(3)①若求极值，则先求方程f′(x)＝0的根，再检验f′(x)在方程根左、右值的符号，求出极值．(当根中有参数时要注意分类讨论根是否在定义域内)②若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方程f′(x)＝0根的大小或存在情况，从而求解．变式训练3设a∈R，函数f(x)＝ax3－3x2.(1)若x＝2是函数y＝f(x)的极值点，求a的值；(2)若函数g(x

6、)＝f(x)＋f′(x)，x∈[0,2]，在x＝0处取得最大值，求a的取值范围．解：(1)f′(x)＝3ax2－6x＝3x(ax－2)．因为x＝2是函数y＝f(x)的极值点，所以f′(2)＝0，即6(2a－2)＝0，因此a＝1.经验证，当a＝1时，x＝2是函数y＝f(x)的极值点．(2)由题设，g(x)＝ax3－3x2＋3ax2－6x＝ax2(x＋3)－3x(x＋2)．考题解答技法例【得分技巧】(1)求a的取值范围，关键转化为f′(x)≥0，从而利用不等关系求a的取值范围．这样可以得2～3分．(2)第二个得分点是利用f(

7、1)或f(4)求a的值，利用求最值方法求最大值．(3)函数g(x)＝[f(x)－x3]·ex＝(－x2－x＋c)·ex，有g′(x)＝(－2x－1)ex＋(－x2－x＋c)ex＝(－x2－3x＋c－1)·ex，因为函数在区间x∈[－3,2]上单调递增，所以h(x)＝－x2－3x＋c－1≥0在x∈[－3,2]上恒成立．只要h(2)≥0，解得c≥11，所以c的取值范围是[11，＋∞)．