高等数学课程所要学习的内容及内容间的相互关系

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1、“高等数学”课程所要学习的内容及内容间的相互关系第一章函数与极限第一节映射与函数一、基本概念（集合）二、映射的概念三、函数的概念四、函数的特性五、反函数六、复合函数、初等函数七、双曲函数与反双曲函数一、基本概念1.集合:具有某种特定性质的事物的总体.组成这个集合的事物称为该集合的元素.有限集无限集数集分类:N----自然数集Z----整数集Q----有理数集R----实数集数集间的关系:例如不含任何元素的集合称为空集.例如,规定空集为任何集合的子集.2.区间:是指介于某两个实数之间的全体实数.这两个实数叫做区间的端点.称为开区间,称为闭区间,称为半开区间,称

2、为半开区间,有限区间无限区间区间长度的定义:两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.3.邻域:二、映射的概念定义：设X、Y是两个非空集合，如果存在一个法则f，使得对X中每一个元素x，按法则f，在Y中有唯一确定的元素y与之对应，则称f为从X到Y的映射，记作f：XY三要素：集合X(即定义域Df=X);集合Y,即值域的范围RfY;对应法则f。因变量自变量数集D叫做这个函数的定义域.三、函数概念自变量因变量对应法则f函数的两要素:定义域与对应法则.如果自变量在定义域内任取一个数值时，对应的函数值总是只有一个，这种函数叫做单值函数，否则叫与多值函数．函数定义域的

3、确定：（1）由算式表示的函数，定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数组成的集合.（2）有实际意义的函数，根据实际意义确定.(1)符号函数几个特殊的函数举例1-1xyo(2)取整函数y=[x][x]表示不超过的最大整数12345-2-4-4-3-2-14321-1-3xyo阶梯曲线在自变量的不同变化范围中,对应法则用不同的式子来表示的函数,称为分段函数.四、函数的几种特性M-Myxoy=f(x)X有界无界M-MyxoX1．函数的有界性:上界、下界、有界、无界。2．函数的单调性:xyoxyo3．函数的奇偶性:偶函数yxox-x奇函数yxox-x4．函数的周

4、期性:（通常说周期函数的周期是指最小正周期）.例1五、反函数DWDW直接函数与反函数的图形关于直线对称.六、复合函数初等函数1、复合函数定义:注意:1.不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的;2.复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成.2、初等函数由常数和基本初等函数(幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数)经过有限次四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数,称为初等函数.例解综上所述七、双曲函数与反双曲函数奇函数.偶函数.1、双曲函数(sh,ch)奇函数,有界函数,th~tanh双曲函数常用公式2、反双曲函数(arsh,

5、arch,arth)奇函数,奇函数,思考题(1)x2是否为x的函数？(2)y=ex(3)x123y456(4)x+ey=0(5)(6)x2+y2+1=01.判断是否存在函数关系？2.映射与函数有何关系？3.是否任何两个函数都可以复合成一个复合函数？4.初等函数可以是分段函数吗？5.复合函数可以是分段函数吗？6.7.设思考题6解答设则故思考题7的答案