资源描述：
《2003年湖南省高中数学竞赛试卷》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、2003年湖南省高中数学竞赛试卷（9月6日上午9：00-11：00）注意事项：本试卷共18题，满分150分一、选择题（将每小题的唯一正确的答案的代号填在题后的括号内。本大题共6小题，每小题6分，满分36分）1.设函数，若，则的值等于（）A.4B.8C.16D.2.如图，S-ABC是三条棱两两互相垂直的三棱锥，O为底面内的一点，若，,，则的取值范围是()A.B.C.D.3.某水池装有编号为1，2，3，…，的9个进出口水管，有的只进水，有的只出水。已知所开的水管号与水池装满水所需的时间如下表：水管号1，22，33，44，55，66，77，88，99，1时间（小时）2481
2、63162124248496若9个水管一齐开，则灌满水池所需时间为（）A.1小时B.2小时C.3小时D4小时4.若以圆锥曲线的一条经过焦点的弦为直径的圆与对应的准线无公共点，则此圆锥曲线为（）A.双曲线B.椭圆C.抛物线D.椭圆或双曲线5.有10个不同的球，其中有2个红球，5个黄球，3个白球。若取到一个红球得5分，取到一个黄球得1分，取到一个白球得2分，则从中取出5个球，使得总分大于10分且小于15分的取法种数为（）A.90B.100C.110D.1206.自然数按下表的规律排列，则上起第2002行，左起第2003列的数为（）A.B.C.2002+2003D.2002
3、×2003二、填空题（在每小题中的横线上填上正确答案。本小题共6小题，每小题6分，满分36分）7.设，且满足，则___________;8.满足的锐角x=________________;9.记为两数的最小值，当正数x,y变化时，也在变化，则的最大值为_____________________;10.已知n为自然数，多项式可展开成x的升幂排列，则________________;11.底面边长为a的正三棱柱，被不平行底面的平面所截，其中一块的形状如图所示，剩余的侧棱长分别为，则剩余的几何体的体积为__________________;12.已知a、b是不相等的正数，在
4、a、b之间插入两组数:;使a,,b成等差数列，a,，b成等比数列，则下列不等式:①,②③,④中成立的有_____________________.三、解答题（每题的解答要有严格的推理过程，本大题共6小题，每小题13分，共78分）13.已知曲线在曲线上点处的切线的斜率，过点作y轴的平行线交曲线于，过作曲线的切线与x轴交于点，过作y轴的平行线交曲线于，仿此，不断的这样作图（如图所示），得到点列，记，求的值。14.设均取正数且，求三元函数的最小值，并给出证明。15.如图，已知四面体ABCD中，（1）指出与面BCD垂直的侧面，并加以证明。（2）若，二面角C-AD-B的平面角为
5、，,求的表达式和的范围。16.设函数的定义域为，当时，,且对任意的实数，有成立，数列满足，且.（1）求的值；（2）若不等式对一切均成立，求k的最大值。（第n-1年第n年1998（第3年）1997(第2年)1996(第1年)17.甲、乙两网络公司，1996年的市场占有率都为A，根据市场分析和预测，甲公司第n年（1996年为第一年）的市场占有率，乙公司自1996年起逐年的市场占有率都有所增加，其规律如图所示。(1)观察图形，求出乙公司第n年的市场占有率表达式；(2)根据甲、乙两公司所在地的市场规律，如果某公司的市场占有率不足另一公司市场占有率的20％，则该公司将被另一公司
6、兼并。经计算，2015年以前，不会出现兼并局面。试问2015年是否会出现兼并局面，并说明理由。18.求平面上的满足条件：（1）三角形的三个顶点都是整点，坐标原点为直角顶点；（2）三角形的内心坐标为，其中为素数的直角三角形的个数。2003年湖南省高中数学竞赛试卷答案一、选择题1.C；2.A提示：构造长方体对角线与三条棱所成的角；3.B设需t小时，则,解得t=2;4.B用圆锥曲线的定义；5.C；6.D.二、填空题7.3构造函数,它是奇函数又是增函数，,所以x+y=3；8.原式可得2sinxtanx+tanx－2sinx=3，即，函数为增函数，且，故.9.若则t=x，，当则
7、，故,当且仅当时取等号.10.，所以.11.可以把它分割成一个四棱锥与一个三棱锥的体积和.12.①④三、解答题13.提示：
8、ln
9、是以1为首项，公比为的等比数列，所以，.14.提示：考察函数，易知在(0,1)内递增，从而对于且时，有，所以对任意的有，即，同理对y,z有类似的式子，三式相加即可得所求的最小值为0.当且仅当时,取等号.15.（1）平面ABC与平面ABD，证明略；（2）,因为，所以，.16.略解：（1）由已知得，a1=f(0)=1，函数y=f(x)在R上是单调递减函数，且，故,，所以{an}是首项为1，公差为2的等差数列，由此得，.（2）已
