湖南省2002年高中数学竞赛

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1、湖南省2002年高中数学竞赛试题及解答2002.9.79：00-11;00说明：1.评阅试卷时请依本评分标准.选择题只设6分及0分两档,填空题只设6分及0分两档.其他各题评阅请严格依照本评分规定的评分档次给分,不要增加其他中间档次.2.如果考生的解答方式与本解答案不同,只要思路合理,步骤正确,在证券时参照本评分标准划分的评分档次,给予相应的分数.一选择题(本题共6个小题,每小题6分,满分36分.)1．定义在实数集R上的函数y=f（-x）的反函数是，则（A）y=f（-x）是奇函数（B）y=f（-x）是偶函数（C）y=f（-x）既是奇函数，也是偶函数（D）y=f（-x）既不是奇函数，也不

2、是偶函数2．二次函数的图象如图所示。记N=

3、a+b+c

4、+

5、2a-b

6、M=

7、a-b+c

8、+

9、2a+b

10、，则（）（A）M＞N（B）M=N（C）M＜N（D）M，N的大小关系不能确定3．在正方体的一个面所在的平面内，任意画一条直线，则与它异面的正方体的棱的条数是（）（A）4或5或6或7（B）4或6或7或8（C）6或7或8（D）4或5或64．ABC中，若（sinA+sinB）（cosA+cosB）=2sinC，则（）（A）△ABC是等腰三角形但不一定是直角三角形（B）△ABC是直角三角形但不一定是等腰三角形（C）△ABC既不是等腰三角形也不是直角三角形（D）△ABC既是等腰三角形也是直角三角

11、形5．△ABC中，∠C=90O，若sinA，sinB是一元二次方程的两个根，则下列关系中正确的是（）6．已知A（-7，0），B（7，0），C（2，-12）三点，若椭圆的一个焦点为C，且过A、B两点，此椭圆的另一焦点的轨迹为（）。（A）双曲线（B）椭圆（C）椭圆的一部分（D）双曲线的一部分二、填空题（本题共6个小题，每小题6分，满分36分。）7．满足条件{1，2，3}X

12、1，2，3，4，5，6

13、的集合X的个数为————————。8．函数是奇函数的充要条件是————————————9．在如图所示的六块地上，种上甲或乙两种蔬菜（可只咱其中一种，也可两种都种），要求相邻两块土地上不都种甲种蔬

14、菜，则共有种蔬菜的方案数为—————。10．定义在R上的函数y=f（x），它具有下述性质：（Ⅰ）对任何x∈r，都有f（x3）=f3（x），（Ⅱ）对任何x1，x2∈R，x1≠x2，都有f（x1）≠f（x2）则f（0）+f（1）+f（-1）的值为————。11．已知复数z满足则z=——————三、解答题（本题共6个小题，满分78分。）13．（本题满分12分），如图，在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D中，E、F分别是棱AB与BC的中点。（Ⅰ）求二面角B-FB1-E的大小；（Ⅱ）求点D到平面B1EF的距离；（Ⅲ）在棱DD1上能否找一点M，使BM⊥平面EFB1？若能，试确定点M的位置；

15、若不能，请说明理由。14．（本题满13分），设关于x的一元二次方程2x2-tx-2=0的两个根为α、β（α＜β）（Ⅰ）若x1、x2为区间[α，β]上的两个不同的点，求证：4x1x2-t（x1+x2）-4＜0。‘（Ⅱ）设上的最大值和最小值分别为的最小值。15．（本题满分13分），已知a1=1，a2=3，an+2=（n+3）an+1-（n+2）an，若当m≥n，am的值都能被9整除，求n的最小值。16．（本题满分13分），一台计算机装置的示意图如图，其中J1，J2表示数据入口，C是计算结果的出口，计算过程是由J1、J2分别输入自然数m和n，经过计算后得自然数K由C输出，若此种装置满足以下

16、三个性质：①J1，J2分别输入1，则输出结果1；②若J1输入任何固定自然数不变，J2输入自然数增大1，则输出结果比原来增大2；③若J2输入1，J1输入自然数增大1，则输出结果为原来的2倍，试问：（Ⅰ）若J1输入1，J2输入自然数n，则输出结果为多少？（Ⅱ）若J2输入1，J1输入自然数m，则输出结果为多少？（Ⅲ）若J1输入自然2002，J2输入自然数9，则输出结果为多少？17．（本题满分13分），以A为圆心，以）为半径的圆外有一点B，已知

17、AB

18、=2，设过点B且与圆外切于点T的圆的圆心为M。（Ⅰ）当取某个值时，说明点M的轨迹P是什么曲线；（Ⅱ）点M是轨迹P上的动点，点N是圆A上的动点，

19、把

20、MN

21、的最小值记为f（）（不要求证明），求f（）的取值范围。（Ⅲ）若将题设条件中的的范围改为（），点B的位置改为圆A内，其它条件不变，点M的轨迹记为P，试提出一个和（Ⅱ）具有相同结构的有意义的问题（不要求解答）18．（本题满分14分），设长方体的长、宽、高分别为a、b、c，其体对角线长为l，试证：