2006年湖南省高中数学竞赛试卷a及答案

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1、2006年湖南省高中数学竞赛试卷A及答案考生注意：1、本试卷共三大题（16个小题），全卷满分150分。2、用钢笔、签字笔或圆珠笔作答。3、解题书写不要超出装订线。4、不能使用计算器。一、选择题（本大题共6小题，每小题6分，满分36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1．记[x]为不大于x的最大整数，设有集合，，则()A．(－2，2)B．[－2，2]C．D．2．若，则=()A．－1B．1C．2005D．20073．四边形的各顶点位于一个边长为1的正方形各边上，若四条边长的平方和为t，则t的取值区间是()A

2、．[1，2]B．[2，4]C．[1，3]D．[3，6]4．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为棱AB上一点，过点P在空间作直线l，使l与平面ABCD和平面ABC1D1均成角，则这样的直线条数是()A．1B．2C．3D．45．等腰直角三角形ABC中，斜边BC=，一个椭圆以C为其焦点，另一个焦点在线段AB上，且椭圆经过A，B两点，则该椭圆的标准方程是（焦点在x轴上）()A．B．C．D．（注：原卷中答案A、D是一样的，这里做了改动）6．将正方形的每条边8等分，再取分点为顶点（不包括正方形的顶点），可以得到不同的三角形个

3、数为()A．1372B．2024C．3136D．4495二、填空题（本大题共6小题，每小题6分，满分36分，请将正确答案填在横线上。）7．等差数列的前m项和为90，前2m项和为360，则前4m项和为_____.8．已知，，且，则的值为_________.9．100只椅子排成一圈，有n个人坐在椅子上，使得再有一个人坐入时，总与原来的n个人中的一个坐在相邻的椅子上，则n的最小值为__________.10．在ABC中，AB=，AC=，BC=，有一个点D使得AD平分BC并且是直角，比值能写成的形式，这里m、n是互质的正整数，则m－

4、n=________.11．设ABCD－A1B1C1D1是棱长为1的正方体，则上底面ABCD的内切圆上的点P与过顶点A，B，C1，D1的圆上的点Q之间的最小距离是___________.12．一项“过关游戏”的规则规定：在第n关要抛一颗骰子n次，如果这n次抛掷所出现的点数之和大于，则算过关。则连过前3关的概率为_________.三、解答题（本大题共4小题，满分78分要求解答要有必要的过程）13．（本小题满分16分）是否存在最小的正整数t，使得不等式对任何正整数n恒成立，证明你的结论。14．（本小题满分18分）设x，y，z为

5、正实数，求函数的最小值。15．（本小题满分22分）设A、B分别为椭圆和双曲线的公共的左、右顶点。P、Q分别为双曲线和椭圆上不同于A、B的动点，且满足。设直线AP、BP、AQ、BQ的斜率分别为k1、k2、k3、k4.(1)求证：k1+k2+k3+k4=0；(2)设F1、F2分别为椭圆和双曲线的右焦点。若，求的值。16．（本小题满分22分）将m位性别相同的客人，按如下方法入住A1、A2、…、An共n个房间。首先，安排1位客人和余下的客人的入住房间A1；然后，从余下的客人中安排2位和再次余下的客人的入住房间A2；依此类推，第几号房

6、间就安排几位客人和余下的客人的入住；这样，最后一间房间An正好安排最后余下的n位客人。试求客人的数目和客房的数目，以及每间客房入住客人的数目。2006年湖南省高中数学竞赛试题参考答案及评分标准说明：1．评阅试卷时，请依据本评分标准．选择题和填空题严格按标准给分，不设中间档次分．2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准适当档次评分．一、选择题(本大题共6个小题。每小题6分，满分36分．)(注：选择题有些解答是不同于标准答案的简单一点的解法，供参考)1．选C解：由于x=0A，排除答案A

7、、C，又x=－1满足题意，故选C;2．选B解：令，则，故，故选B;3．选B解：当四边形顶点与正方形顶点重合时知t=4，排除A、C，又取各边中点时可得t=2，排除D，故选B;4．选B解：由于二面角C1－AB－D的平面角为450，所以在这个二面角及它的“对顶”二面角内，不存在过点P且与面ABCD和面ABC1Dl均成300角的直线．转而考虑它的补二面角，易知过点P有且仅有两条直线与面ABCD和面ABClDl均成300角．故满足条件的直线l有2条，选B;5．选A解：因为BC=4，设椭圆的另一个焦点为D．以DC为x轴，中点为原点建立直

8、角坐标系．设椭圆方程为：(a>b>0)，所以

9、AD

10、+

11、BD

12、+

13、AC

14、+

15、BC

16、=4a．即8+4=4a，a=2+．

17、AD

18、=2a－

19、AC

20、=2．在直角三角形ADC中，，，故方程为所求，选A；6．选C解法一：首先注意到三角形的三个顶点不在正方形的同一边上．任选正方形的三边，使三个顶点分别在