二〇一三年湖南省高中数学竞赛试卷

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1、二〇一三年湖南省高中数学竞赛试题注意事项：1.首先填写所在县（市）学校、年级和姓名。2.用蓝色或黑色钢笔、圆珠笔书写。3.本试卷共19题，满分150分。一、选择题（本大题共10个小题，每小题6分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）。1、已知，，则=（）A、B、C、D、12、已知函数的定义域为，则在同一坐标系中，函数的图象与直线的交点个数是（）A、0B、1C、2D、0或1均有可能3、若函数，则当函数值时，自变量的值是（）A、B、4C、或4D、4或4、是定义在R上的以3为周期的偶函数，且，则方程在区间内解的个数的最小值是（）A

2、、2B、3C、4D、55、函数在闭区间上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是（）A、B、C、D、6、已知实数满足，设，，则P、Q之间的关系为（）A、B、C、D、无法确定7、设n为正整数，，，则（）A、B、C、D、以上都有可能8、已知为整数集，集合A=，B=，C=，则=（）A、B、C、D、89、与圆，圆都相切且半径为的圆有（）A、2个B、3个C、5个D、7个10、设为正整数，则的最小值是（）A、2500B、4950C、5050D、5150二、填空题（本大题共4个小题，每小题6分，共24分。请将正确的答案填在横线上）。11、若方程的两根分别为，则=。1

3、2、方程得解为。13、设，，且，则=。14、已知二次函数满足条件，，则的解析式为=。三、解答题（本大题共5小题，共66分，要求解答有必要的过程）。15、（本小题满分12分）已知，试求多项式的值。16、（本小题满分12分）设，，试求的最大值。17、（本小题满分14分）如图所示，在△ABC中，BC=2，AB+AC=3，中线AD的长为y，AB的长为x，试建立y与x的函数关系式，并求出其定义域。ABCDABCDEFP18、（本小题满分14分）如图所示，△ABC的三边长分别是BC=17，CA=18，AB=19，过△ABC内的点P向△ABC的三条边分别作垂线PD

4、、PE、PF，且，求BD+BF的值。819、（本小题满分14分）给定两个正整数m,n，若正整数k使得存在一个以、和为边长的三角形，我们便称k为“三角形好数”。现知恰存在100个三角形好数，试求mn的最大可能值。8二〇一三年湖南省高中数学竞赛参考答案一、选择题（本大题共10个小题，每小题6分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）。1、已知，，则=（）CA、B、C、D、12、已知函数的定义域为，则在同一坐标系中，函数的图象与直线的交点个数是（）BA、0B、1C、2D、0或1均有可能3、若函数，则当函数值时，自变量的值是（）DA、

5、B、4C、或4D、4或4、是定义在R上的以3为周期的偶函数，且，则方程在区间内解的个数的最小值是（）CA、2B、3C、4D、55、函数在闭区间上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是（）CA、B、C、D、6、已知实数满足，设，，则P、Q之间的关系为（）BA、B、C、D、无法确定7、设n为正整数，，，则（）CA、B、C、D、以上都有可能解析：，，，即有。8、已知为整数集，集合A=，B=，C=，则=（）D8A、B、C、D、9、与圆，圆都相切且半径为的圆有（）CA、2个B、3个C、5个D、7个xyO······解析：如图所示，因为已知两圆半径都为，且两圆的

6、圆心都分别在另一圆的圆周上，所以，与这两圆都相切，且半径为的圆有5个。10、设为正整数，则的最小值是（）AA、2500B、4950C、5050D、5150解析：若，则=，当或时，，若，则，当时，。综上所述，。8二、填空题（本大题共4个小题，每小题6分，共24分。请将正确的答案填在横线上）。11、若方程的两根分别为，则=。解析：由题设，，，所以。12、方程的解为。解析：方法一、首先，，然后，方程两边平方可化为，解之得或。都满足的条件。方法二、作二元代换：令，则由题设知，解之得，或。相应的或。13、设，，且，则=。解析：若设，则，，，，，，于是条件式即可

7、化为，即；……（*）注意到且，所以，，。因此若设（），则（*）式即，故。14、已知二次函数满足条件，，则的解析式为=。解析：设，则，∴；而已知，所以有，即。又，故。三、解答题（本大题共5小题，共66分，要求解答有必要的过程）。15、（本小题满分12分）已知，试求多项式的值。8解析：由可得，平方整理即有；于是====。16、（本小题满分12分）设，，试求的最大值。解析：方法一、（消元）由已知，，其中，于是，显然，当时，。方法二、（换元）依题设，可令，（）于是，。此时，即有，，。方法三、（均值不等式）由于，，所以。等号当且仅当即时成立。17、（本小题满分

8、14分）如图所示，在△ABC中，BC=2，AB+AC=3，中线AD的长为y，AB的长为x，试建立y与x的函数