无穷网络的等效电阻

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1、无穷网络的等效电阻估计受各种奥林匹克物理竞赛题的影响，求各种网络等效电阻的问题，正在中学物理教学中不断出现．鉴于这种情况，在这里，我们特向读者介绍几种求无穷网络等效电阻的方法．1．半无穷长梯形网络（1）开端形如图所示，由已知电阻和组成的无穷长梯形网络，求a、b间的等效电阻．这里介绍两种求的方法：①连分式法，如图2，按电阻的串联和并联公式可得：（1）式整理后可得：（2）解方程可得：（3）因为，故上式根号前只能取正号，于是得：（4）②加节法：在上图的a、b间另加一节，即得图，由于网络是无穷长的，故c、d间的电

2、阻与原无区别，即，因此，由简单的串、并联公式可得：（5）（5）式去分母后即得（2）式，故解得的如（4）式．以上所介绍的“连分式法”和“加节法”，实际上都源于同一种数学思想和方法．为说明此问题，让我们分析这样一个数学题：试求：本题无一般解法，其特殊解法是令其值为x，则由“无穷”的概念，可将原式改写成：两边平方，得：解之得：（舍去）显然，前面求半无穷长梯形开端网络等效电阻，所用的“连分式法”和“加节法”，就是解上述数学问题的推广和应用．处理这种无穷问题的技巧，往往是狠扣住“无穷”，即“无限”的意义，分析无限和

3、有限这对矛盾，巧妙地创造条件，使无限向有限转化．利用这种思辨的方法，不仅能解决无穷网络的电阻问题，而且还能解决无穷网络的电容问题．下面根据（4）式，我们来讨论几种特殊的情况．a．若网络中一边电阻为零，如，则（4）式可化为：（6）b．若网络中两边电阻均为零，即，则（4）式可化为：（7）c．若网络中三种电阻均相等，即，则（4）式可化为：（8）（2）闭端形如在左下图a、b间加上，则形成闭端半无穷长梯形网络，如右下图所示．由（4）式和电阻的并联公式可得右下图中的a、b间的电阻为：（9）若，则由（9）式得：（10）

4、2．无穷长梯形网络由半无穷长梯形网络的等效电阻公式，即（4）式，很容易求出无穷长梯形网络的等效电阻．（1）中间缺口形如图所示，两头都是无穷长，唯独中间网孔上缺掉一个电阻，则e、f之间的等效电阻便等于如（1）图的两个开端形半无穷长梯形网络的等效电阻并联而成的电阻，即：（11）（2）旁边缺口形如图所示，两头都是无穷长，唯独旁边缺一个电阻，则f、g之间的等效电阻为：（12）式中由前面的（9）式给出．（3）完整形如果在左下图的e、f间补上，便构成完整形的无穷长梯形网络，如右下图所示．显见，这网络g、h之间的电阻实

5、为图5中与的并联电阻，即：（13）式中由前面的（11）式给出．同理，网络h、j间的等效电阻为：（14）式中由前面的（12）式给出．3．平面无穷正方形网络图为一个网格为正方形的平面无穷网络，网络的每一个节点都有四个电阻与上下左右四个节点分别相联，每个电阻大小均为R，由此，按左右、上下一直延伸到无穷远处．A和B为网络中任意两个相邻节点，试求A、B间的等效电阻．如图8，设有一电流I从A点流入，从无穷远处流出．由于网络无穷大，故网络对于A点是对称的，电流I将在联接A点的四个电阻上平均分配．这时，电阻R（指A、B两

6、节点间的电阻）上的电流为，方向由A指向B．同理，再设一电流I从无穷远处流处，从节点B流出．由于网络无穷大，B也是网络的对称点，因此在电阻R上分得的电流也为，方向也是由A指向B．将上述两种情况叠加，其结果将等效为一个从节点A流入网络，又从节点B流出网络的稳恒电流I，在无穷远处既不流入也不流出．每个支路上的电流也是上述两种情况下各支路电流的叠加．因此，R电阻上的电流为．所以A、B两节点间的电势差为：于是，A、B两节点间的等效电阻为：本题是一个无穷网络问题，而且是一个向上、下、左、右都无限延伸的网络，如果没有巧

7、妙的思考和分析，恐怕一时很难理出头绪来．我们在求解过程中，抓住了无穷网络中任何一个节点都可以看作是网络的对称点这个最重要的特征（无限与有限的本质区别），得到了由任一节点流入或流出的电流将在汇于节点的四个电阻上平均分配的重要结论．这是解决问题的突破口．在求A、B两节点间的电阻时，我们还运用了虚电流法和叠加原理，把无穷远处也看作一个“节点”，用叠加方法使无穷远处流入流出的电流抵消，这些都体现了一定的解题技巧．实践证明，三维情况下无穷网络的等效电阻可采用类似的方法解决，更可喜的是不久前，波兰的中学生Krzysz

8、tofGiaro在他的一篇创造性论文中，采用二维平面的博里叶（Fourier）展开成功地导出了此网络中任意两节点间等效电阻的解析解．无穷网络可以有各种花样，有兴趣的读者可作进一步探讨研究．