单自由度计算例题

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1、单自由度计算例题重点：刚度系数、柔度系数频率难点：刚度系数、柔度系数例题1图示体系，不计梁重，弹簧的刚度KN=，梁的抗弯刚度为EI，求自振频率。mL/2L/2KN解：质点的位移由惯性力产生运动方程：式中，δ为单位力作用于质点时产生的位移P=1δ1.弹簧受力为1，弹簧的伸长2.简支梁中点受力也为1，中点挠度为P=13.质点的位移：代入运动方程，得：一般地mLLKN引例刚度法柔度法KNK1KNP=1例题2图示结构，梁的刚度为EI，弹簧的刚度KN=，不计梁的自重，求自振频率L/32L/3mKNP=1解：在质点处作用单位

2、力，用力法求由此产生的位移P=1P=1X基本体系P=1MP图2L/9X=1图P=118L/89M图P=12L/9图运动方程：代入运动方程，得：例题3图示结构，AB和DE杆的刚度均为EI，而BD杆的刚度为无限刚性。B和D处各有集中质量m，试求结构的自振频率。3L/4L/43L/4L/4mmABCDE解：1）动力自由度为1以刚性杆BD的转角为变量建立振动方程质点位移2）求转角时需在C处施加的力矩(转动刚度)K*AB杆的杆端弯矩和杆端剪力ABK*DE杆的杆端弯矩和杆端剪力3）取BD为研究对象，如图∑MC=0ABKBDVB

3、AMBAVDEMDEC4）振动方程：DE取C结点的平衡，∑MC=0FIFIC例题4如图，不计杆的自重，求自振频率。EI=常数LLLm解：质点的水平振动,动力自由度为1方程一般形式：求质点的侧移刚度K，可以采用位移法---方法1在B结点作用K,使结点侧移为1时的位移法方程LLLmABCDK13I/L13i3iiMP图3I/LR1PR2P令解出K运动方程：写出运动方程LLLmKVBCVBA侧移为1需施加的力K看成支座移动时内力计算求质点的侧移刚度K，可以采用位移法---方法21RRKVBCVBA侧移为1需施加的力K例题

4、5已知，K1=，K2=，EI=常数。求自振频率LK1K2m解：在质点上作用单位力，求出位移，利用公式方法11）是超静定结构，本题用力法求位移较简单P=1MP图LP=1X=11图4L/73L/7P=1M图4/7图乘求位移P=1MP图L4L/73L/7P=1M图4/7方法2K1AA点的侧移刚度怎么考虑？K1K2K=K1+K2例题6图示简支梁跨中有质量m，梁端受动力矩Msinθt作用，不计梁的质量。求质点的动位移和支座A处的动转角。MsinθtmLLABC解：动荷载不作用在质点上，需建立振动方程建立方程的依据：1.质点的

5、位移由动力矩Msinθt和惯性力共同产生2.A端的转角也由动力矩Msinθt和惯性力共同产生1）求出动力矩为1及惯性力为1时在质点及A端处产生的位移及转角P=1M=1L/41M1图M2图2)由叠加原理可得振动方程3）求解方程设方程的解为：把上式代入第2个方程中，得*例题7图示结构，梁的刚度为EI，弹簧的刚度KN=，不计梁的自重，θ=。求B点的最大动力位移反应L/3L/3L/3PsinθtmABCDKN1）求B点的柔度δP=1P=1X基本体系P=1MP图2L/9X=1图求柔度δP=118L/89M图P=12L/9图2

6、）求动力荷载为1时在质点出产生的位移P=1X=1MP图图2L/92L/9P=1171L/8012L/975L/801P=1M图MP图3）振动方程设方程的解为：例题8求图示结构B点的最大竖向动位移ΔBV，并绘最大动力弯矩图。已知，EI=常数，不计阻尼LLLABCDmKN解：1）动力自由度1，D点的竖向位移ABCD用柔度法建立振动方程2）振动方程的形式B和D点的竖向位移由惯性力和动力荷载共同产生原理：3）方程中各系数P=11DBP=11/2L/2BDMP图BDqL/4qL2/23)先解第二个方程,以代入方程，得：以代入

7、第一个方程，得：4）最大动力弯矩图MP图BDqL/4qL2/2P=11/2L/2BD13qL2/28qL2/2习题课建立振动方程，求最大动位移mEILLmEI建立方程的依据：质点位移由惯性力与动荷载共同产生1L12L11、1L12L质点的最大位移：动力系数：mLLEImEI建立方程的依据：质点位移由惯性力与动荷载共同产生P=1LL/2P=1L=7L3/12EI2、3、mLLEIKNKN=3EI/L3mEIKNKNKNP=1L211/LKNKNP=1L211/L=39L3/24EIKNLP=13L/45/4KNL

8、P=12求自由振动频率，EA=6EI/L2EI=常数LmEALLAmEAAEAP=1-1P=1L=L/EA+L3/3EIK=1/+24EI/L34、LLEI=常数,LmEAEAysK11K211K12K2215、EA=6EI/L2FI方法1位移法方程EAys消去s(t)即得振动方程。FI12yEI/L3-12yEI/L3EA(s-y)/L3sEI/L