高等数学(1)模拟试题之一

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1、高等数学（1）模拟试题之一一、单项选择题（每小题3分，共15分）1．设函数，则=（）．A．0B．1C．D．-2．下列极限存在的有()．A．B．C．D．3.设，则=（　）．　　A.　B.　C.　　D.4．若，则=（）．A．B．C．D．5.设为数项级数，其部分和数列有界是级数收敛的（）．A．必要但非充分条件B．充分但非必要条件C．必要充分条件D．既非充分又非必要条件二、填空题（每小题3分，共15分）1．函数的定义域是．2．设，则k=．3．曲线上点(1,3)处的切线方程是．4．=　　　　　　．5．微分方程（p，q为常数）的特征方程为　　　　　．三、计算题（每小题6分，共54分

2、）1．2．3．设，求．4．已知，求．5．6．求由曲线和直线，，所围图形面积．7．求幂级数的收敛半径．8．求微分方程满足初始条件的特解．9．求微分方程满足初始条件，的特解．四、应用题（本题12分）一火车锅炉每小时消耗煤的费用与火车行驶速度的立方成正比，已知当车速为每小时20公里时，每小时耗煤价值40元，其他费用每小时200元，甲、乙两地相距S公里，问火车行驶速度如何，才能使火车由甲地开往乙地的总费用为最省？五、证明题（本题4分）试证：当时，有成立．高等数学（1）模拟试题参考答案一、单项选择题（每小题3分，共15分）1．C2.D3.B4.A5.A二、填空题（每小题2分，共1

3、0分）1.2.3.4.5．三、计算题（每小题6分，共54分）1．解：（3分）（6分）2．解：=（2分）=（4分）==2（6分）3．解：因为（2分）（4分）所以（6分）4．解因为在方程等号两边分别对x求导，得（3分）所以（6分）5．解：=（2分）==（5分）xyo1212x=2y=4xy=1/x6题解图=（6分）6．解：平面图形的草图如右图．由得交点坐标．所以平面图形的面积为（3分）==（6分）7．解：因为=（2分）=（4分）所以原幂级数的收敛半径为：2（6分）8．解因为，用公式（2分）（4分）由，得所以原方程的特解为：（6分）9．解：原方程的特征方程为，特征根为重根，故

4、原方程的通解为其中为任意常数．（3分）将条件，代入，得，．所以原方程的特解为．（6分）四、应用题（本题12分）解：设火车行驶速度为每小时公里，每小时耗煤的费用为元，从甲地到乙地的总费用为元．由已知条件，知，且当时，，故，因此总费用为（6分）因为．令，得由题意知总费用的最小值存在，且驻点唯一，故函数在处取得最小值，即当火车行驶速度为每小时公里时，从甲地到乙地的总费用为最省.（12分）五、证明题（本题4分）证：设因为当时，有，得，即单调增加.有即所以，当时，（4分）