优化案例四 高速公路问题

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1、数学规划建模案例案例：高速公路问题A城和B城之间准备建一条高速公路，B城位于A城正南20公里和正东30公里交汇处，它们之间有东西走向连绵起伏的山脉。公路造价与地形特点有关，下图给出了整个地区的大致地貌情况，显示可分为三条沿东西方向的地形带。你的任务是建立一个数学模型，在给定三种地形上每公里的建造费用的情况下，确定最便宜的路线。图中直线AB显然是路径最短的，但不一定最便宜。而路径ARSB过山地的路段最短，但是否是最好的路径呢？你怎样使你的模型适合于下面两个限制条件的情况呢？1.当道路转弯是，角度至少为1400。2.道路必须通过一个已知地点（如P）。问题分析在建

2、设高速公路时，总是希望建造费用最小。如果要建造的起点、终点在同一地貌中，那么最佳路线则是两点间连接的线段，这样费用则最省。因此本问题是一个典型的最优化问题，以建造费用最小为目标，需要做出的决策则是确定在各个地貌交界处的汇合点。变量说明xi：在第i个汇合点上的横坐标（以左下角为直角坐标原点），i＝1，2，。。。，4；x5＝30（指目的地B点的横坐标）li：第i段南北方向的长度（i＝1，2，。。。，5）Si：在第i段上地所建公路的长度（i＝1，2，。。。，5）。由问题分析可知，C1：平原每公里的造价（单位：万元/公里）C2：高地每公里的造价（单位：万元/公里）C

3、3：高山每公里的造价（单位：万元/公里）模型假设1、假设在相同地貌中修改高速公路，建造费用与公路长度成正比；2、假设在相同地貌中修改高速为直线。在理论上，可以使得建造费用最少，当然实际中一般达不到。模型建立在A城与B城之间建造一条高速公路的问题可以转化为下面的非线性规划模型。优化目标是在A城与B城之间建造高速公路的费用。模型求解这里采用Matlab编程求解。模型求解时，分别取Ci如下。平原每公里的造价C1＝400万元/公里；高地每公里的造价C2＝800万元/公里；高山每公里的造价C3＝1200万元/公里。（注意：实际建模时必须查找资料来确定参数或者题目给定有

4、数据）模型结果及分析通过求解可知，为了使得建造费用最小。建造地点的选择宜采取下列结果。建造总费用为2.2584亿元。总长度为38.9350公里。求解模型的主程序文件model_p97functionx=model_p97%数学建模教材P97高速公路clearallglobalCLC=[4008001200];L=[44444];x=fmincon('objfun_97',[1,1,1,1],[],[],[],[],zeros(1,4),ones(1,4)*30,'mycon_p97');optans=objfun_97(x)C=ones(3,1);len=o

5、bjfun_97(x)模型中描述目标函数的Matlab程序objfun_97.mfunctionobj=objfun_97(x)globalCLobj=C(1)*sqrt(L(1)^2+x(1)^2)+C(2)*sqrt(L(2)^2+(x(2)-x(1))^2)+...C(3)*sqrt(L(3)^2+(x(3)-x(2))^2)+C(2)*sqrt(L(4)^2+(x(4)-x(3))^2)+...C(1)*sqrt(L(5)^2+(30-x(4))^2);描述约束条件的Matlab函数mycon_p97.mfunction[c,ceq]=mycon_p

6、97(x)%c(1)=x(1)-x(2);c(2)=x(2)-x(3);c(3)=x(3)-x(4);c(4)=x(4)-30;ceq=[];主程序运行结果model_p97optans=2.2584e+004len=38.9350ans=12.173114.332315.667717.8269