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时间:2018-11-26
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1、“以错纠错”的案例分析(1)的论文“以错纠错”的案例分析文/罗增儒 在文[1]中,笔者认为:“学生在解题中出错是学习活动的必然现象,教师对错例的处理是解题教学的正常业务,并且,错例剖析具有正例示范所不可替代的作用,两者相辅相成构成完整的解题教学”.下面发生在特级教师身上的“以错纠错”现象,竟能在多家刊物延续十年之久,则促使笔者进一步思考:错例分析可能对教师的教学观念和业务素质都提出了更高的要求. 一、出示案例 我们先引述3处典型做法. 1.早在1990年,文[2]曾对一道数列极限题指出“思维定势在解题中的消极影响”;然后在文[3]、[4]中表达了同样的看法.最近(2001年5
2、月)又在文[5]中将欠妥的认识原原本本发表出来(见原文例4): 例1 若(3an+4bn)=8,(6an-bn)=1,求(3an+bn). 学生对“和的极限等于极限的和”的结论十分熟悉,受其影响,产生了下列错误解法: 由(3an+4bn)=8,(6an-bn)=1. 得3an+4bn=8, ①6an-bn=1. ② ①×2-②,可得 bn=15/9, 并求得an=4/9. ∴ (3an+bn)=3an+bn=12/9+15/9=3. 这是一种错误的解法.因为按照极限运算法则,若an=a,bn=b,则才有(an+bn)=an+bn=a+b.反之不真,而由(3
3、an+bn)=8, (6an-bn)=1, 不一定保证an与bn存在.比如 an=4/3+(1/3)n2,bn=1-(1/4)n2, 则有(3an+4bn)=8, 但是an与bn均不存在极限. 正解:(3an+bn)=(1/3)(3an+4bn)+(1/3)(6an-bn) =8/3+1/3=3. 某些法则或定理,其结论是在限定条件下产生的.如果平时练习,限定条件的问题练多了,就容易忽视限定条件,造成对法则、定理理解的偏差,产生定势思维.教师在课堂教学时,应该把定理、法则成立的条件、适应的范围放在第一位讲,就是让学生认识到条件在结论中的重要地位,把条件与结论等同起来强
4、调,并通过恰当的反例来说明. 要克服思维定势的消极影响,就要从加强双基教学入手,加强数学基本思想和方法的训练,排除由于只靠记忆一些孤立方法与技巧而形成的定势,鼓励和引导学生独立思考、探索最佳解题方法,让学生从不同角度多方位地去考虑问题,拓展思维的深度与广度.(引文完) 2.数学通报1999年第11期(p.43)文[6]记述了一次公开课:在一次公开课评比中,有位老师在讲授“数列极限的运算法则”一课时,曾举了这样一个例子(本文记为例2): 例2 已知(2an+3bn)=5,(an-bn)=2,求(an+bn). 当时有位学生提出这样一种解法: 解:设an=a,bn=b,则由题设
5、可知 (2an+3bn)=2an+3bn=2a+3b=5, ① (аn-bn)=an-bn=a-b=2. ② 联立①,②解得 a=11/5,b=1/5. ∴(an+bn)=an+bn=a+b=11/5+1/5=12/5. 对于上述解法,这位教师结合数列极限的运算法则引导学生提出了问题:an和bn一定存在吗? 随后,教师鲜明地指出:由题设我们不能判断an和bn是否一定存在,从而上述解法缺乏依据,是错误的.关于这类问题,我们常用“待定系数法”求解. 另解:设an+bn=x(2an+3bn)+y(an-bn)(其中x,y为待定的系数),则 an+bn=(2x+y)an
6、+(3x-y)bn, 从而有2x+y=1,3x-y=1. 解之得 x=2/5,y=1/5. ∴ an+bn=(2/5)(2an+3bn)+(1/5)(an-bn), ∴ (an+bn)=[(2/5)(2an+3bn)+(1/5)(an-bn)]=(2/5)(2an+3bn)+(1/5)(an-bn)=2/5×5+1/5×2=12/5. 这种讲授方法既巩固了数列极限的运算法则,又充分暴露了学生存在的问题,给学生留下了极为深刻的印象,深受评委们的一致好评.(引文完) 3.江苏省常州高级中学(是一所有90年历史的江南名校)数学组根据多年教学积累的经验写了一本书《数学题误解分析(
7、高中)》,其第6章题30如下(见文[7]p.342,本文记为例3): 例3 已知(2an+3bn)=7,(3an-2bn)=4,求(2an+bn)之值. 误解:∵(2an+3bn)=7,(3an-2bn)=4, ∴2an+3bn=7, ①3an-2bn=4. ② ①×2+②×3,得 13an=26, ∴an=2. 代入式①,得 bn=1. ∴ (2an+bn)=2an+bn=2×2+1=5. 正确解法:设m(2an+3bn)+p
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