“以错纠错”的案例分析(1)的论文

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1、“以错纠错”的案例分析(1)的论文“以错纠错”的案例分析文／罗增儒　　在文［1］中，笔者认为：“学生在解题中出错是学习活动的必然现象，教师对错例的处理是解题教学的正常业务，并且，错例剖析具有正例示范所不可替代的作用，两者相辅相成构成完整的解题教学”．下面发生在特级教师身上的“以错纠错”现象，竟能在多家刊物延续十年之久，则促使笔者进一步思考：错例分析可能对教师的教学观念和业务素质都提出了更高的要求．　　一、出示案例　　我们先引述3处典型做法．　　1.早在1990年，文［2］曾对一道数列极限题指出“思维定势在解题中的消极影响”；然后在文［3］、［4］中表达了同样的看法．最近（2001年5

2、月）又在文［5］中将欠妥的认识原原本本发表出来（见原文例4）：　　例1　若（3ａn＋4ｂn）＝8，（6ａn－ｂn）＝1，求（3ａn＋ｂn）．　　学生对“和的极限等于极限的和”的结论十分熟悉，受其影响，产生了下列错误解法：　　由（3ａn＋4ｂn）＝8，（6ａn－ｂn）＝1．　　得3ａn＋4ｂn＝8，　　　①6ａn-ｂn＝1．　　　　②　　①×2－②，可得　　ｂn＝15／9，　　并求得ａn＝4／9．　　∴　（3ａn＋ｂn）＝3ａn＋ｂn＝12／9＋15／9＝3．　　这是一种错误的解法．因为按照极限运算法则，若ａn＝ａ，ｂn＝ｂ，则才有（ａn＋ｂn）＝ａn＋ｂn＝ａ＋ｂ．反之不真，而由（3

3、ａn＋ｂn）＝8，　　（6ａn－ｂn）＝1，　　不一定保证ａn与ｂn存在．比如　　ａn＝4／3＋（1／3）ｎ2，ｂn＝1－（1／4）ｎ2，　　则有（3ａn＋4ｂn）＝8，　　但是ａn与ｂn均不存在极限．　　正解：（3ａn＋ｂn）＝（1／3）（3ａn＋4ｂn）＋（1／3）（6ａn－ｂn）　　＝8／3＋1／3＝3．　　某些法则或定理，其结论是在限定条件下产生的．如果平时练习，限定条件的问题练多了，就容易忽视限定条件，造成对法则、定理理解的偏差，产生定势思维．教师在课堂教学时，应该把定理、法则成立的条件、适应的范围放在第一位讲，就是让学生认识到条件在结论中的重要地位，把条件与结论等同起来强

4、调，并通过恰当的反例来说明．　　要克服思维定势的消极影响，就要从加强双基教学入手，加强数学基本思想和方法的训练，排除由于只靠记忆一些孤立方法与技巧而形成的定势，鼓励和引导学生独立思考、探索最佳解题方法，让学生从不同角度多方位地去考虑问题，拓展思维的深度与广度．（引文完）　　2.数学通报1999年第11期（ｐ．43）文［6］记述了一次公开课：在一次公开课评比中，有位老师在讲授“数列极限的运算法则”一课时，曾举了这样一个例子（本文记为例2）：　　例2　已知（2ａn＋3ｂn）＝5，（ａn－ｂn）＝2，求（ａn＋ｂn）．　　当时有位学生提出这样一种解法：　　解：设ａn＝ａ，ｂn＝ｂ，则由题设

5、可知　　（2ａn＋3ｂn）＝2ａn＋3ｂn＝2ａ＋3ｂ＝5，　　①　　（аn－ｂn）＝ａn－ｂn＝ａ－ｂ＝2．　　②　　联立①，②解得　　ａ＝11／5，ｂ＝1／5．　　∴（ａn＋ｂn）＝ａn＋ｂn＝ａ＋ｂ＝11／5＋1／5＝12／5．　　对于上述解法，这位教师结合数列极限的运算法则引导学生提出了问题：ａn和ｂn一定存在吗?　　随后，教师鲜明地指出：由题设我们不能判断ａn和ｂn是否一定存在，从而上述解法缺乏依据，是错误的．关于这类问题，我们常用“待定系数法”求解．　　另解：设ａn＋ｂn＝ｘ（2ａn＋3ｂn）＋ｙ（ａn－ｂn）（其中ｘ，ｙ为待定的系数），则　　ａn＋ｂn＝（2ｘ＋ｙ）ａn

6、＋（3ｘ－ｙ）ｂn，　　从而有2ｘ＋ｙ＝1，3ｘ－ｙ＝1．　　解之得　ｘ＝2／5，ｙ＝1／5．　　∴　ａn＋ｂn＝（2／5）（2ａn＋3ｂn）＋（1／5）（ａn－ｂn），　　∴　（ａn＋ｂn）＝［（2／5）（2ａn＋3ｂn）＋（1／5）（ａn－ｂn）］＝（2／5）（2ａn＋3ｂn）＋（1／5）（ａn－ｂn）＝2／5×5＋1／5×2＝12／5．　　这种讲授方法既巩固了数列极限的运算法则，又充分暴露了学生存在的问题，给学生留下了极为深刻的印象，深受评委们的一致好评．（引文完）　　3.江苏省常州高级中学（是一所有90年历史的江南名校）数学组根据多年教学积累的经验写了一本书《数学题误解分析（

7、高中）》，其第6章题30如下（见文［7］ｐ．342，本文记为例3）：　　例3　已知（2ａn＋3ｂn）＝7，（3ａn－2ｂn）＝4，求（2ａn＋ｂn）之值．　　误解：∵（2ａn＋3ｂn）＝7，（3ａn－2ｂn）＝4，　　∴2ａn＋3ｂn＝7，　　　①3ａn－2ｂn＝4．　　　②　　①×2＋②×3，得　　13ａn＝26，　　∴ａn＝2．　　代入式①，得　　ｂn＝1．　　∴　（2ａn＋ｂn）＝2ａn＋ｂn＝2×2＋1＝5．　　正确解法：设ｍ（2ａn＋3ｂn）＋ｐ