“以错纠错”的案例分析

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1、从本学科出发，应着重选对国民经济具有一定实用价值和理论意义的课题。课题具有先进性，便于研究生提出新见解，特别是博士生必须有创新性的成果“以错纠错”的案例分析“以错纠错”的案例分析文／罗增儒　　在文［1］中，笔者认为：“学生在解题中出错是学习活动的必然现象，教师对错例的处理是解题教学的正常业务，并且，错例剖析具有正例示范所不可替代的作用，两者相辅相成构成完整的解题教学”．下面发生在特级教师身上的“以错纠错”现象，竟能在多家刊物延续十年之久，则促使笔者进一步思考：错例分析可能对教师的教学观念和业务素质都提出了更高的要求．　　一、出示案例　　我们先引述

2、3处典型做法．　　1.早在1990年，文［2］曾对一道数列极限题指出“思维定势在解题中的消极影响”；然后在文［3］、［4］中表达了同样的看法．最近又在文［5］中将欠妥的认识原原本本发表出来：　　例1　若＝8，＝1，求．　　学生对“和的极限等于极限的和”的结论十分熟悉，受其影响，产生了下列错误解法：　　由＝8，课题份量和难易程度要恰当，博士生能在二年内作出结果，硕士生能在一年内作出结果，特别是对实验条件等要有恰当的估计。从本学科出发，应着重选对国民经济具有一定实用价值和理论意义的课题。课题具有先进性，便于研究生提出新见解，特别是博士生必须有创新性的

3、成果＝1．　　得3ａn＋4ｂn＝8，　　①6ａn-ｂn＝1．　　　②　　①×2－②，可得　　ｂn＝15／9，　　并求得ａn＝4／9．　　∴　＝3ａn＋ｂn＝12／9＋15／9＝3．　　这是一种错误的解法．因为按照极限运算法则，若ａn＝Ａ，ｂn＝Ｂ，则才有＝ａn＋ｂn＝Ａ＋Ｂ．反之不真，而由＝8，　　＝1，　　不一定保证ａn与ｂn存在．比如　　ａn＝4／3＋ｎ2，ｂn＝1－ｎ2，　　则有＝8，　　但是ａn与ｂn均不存在极限．　　正解：＝＋　　＝8／3＋1／3＝3．　　某些法则或定理，其结论是在限定条件下产生的．如果平时练习，限定条件的问题课题份量和

4、难易程度要恰当，博士生能在二年内作出结果，硕士生能在一年内作出结果，特别是对实验条件等要有恰当的估计。从本学科出发，应着重选对国民经济具有一定实用价值和理论意义的课题。课题具有先进性，便于研究生提出新见解，特别是博士生必须有创新性的成果练多了，就容易忽视限定条件，造成对法则、定理理解的偏差，产生定势思维．教师在课堂教学时，应该把定理、法则成立的条件、适应的范围放在第一位讲，就是让学生认识到条件在结论中的重要地位，把条件与结论等同起来强调，并通过恰当的反例来说明．　　要克服思维定势的消极影响，就要从加强双基教学入手，加强数学基本思想和方法的训练，排

5、除由于只靠记忆一些孤立方法与技巧而形成的定势，鼓励和引导学生独立思考、探索最佳解题方法，让学生从不同角度多方位地去考虑问题，拓展思维的深度与广度．　　2.数学通报1999年第11期文［6］记述了一次公开课：在一次公开课评比中，有位老师在讲授“数列极限的运算法则”一课时，曾举了这样一个例子：　　例2　已知＝5，＝2，求．　　当时有位学生提出这样一种解法：　　解：设ａn＝Ａ，ｂn＝Ｂ，则由题设可知　　＝2ａn＋3ｂn＝2Ａ＋3Ｂ＝5，　　①　　＝ａn－ｂn＝Ａ－Ｂ＝2．　　②　　联立①，②解得　　Ａ＝11／5，Ｂ＝1／5．　　∴＝ａn＋ｂn＝Ａ＋Ｂ＝

6、11／5＋1／5＝12／5．　　对于上述解法，这位教师结合数列极限的运算法则引导学生提出了问题：ａn和ｂn一定存在吗?　　随后，教师鲜明地指出：由题设我们不能判断ａn和课题份量和难易程度要恰当，博士生能在二年内作出结果，硕士生能在一年内作出结果，特别是对实验条件等要有恰当的估计。从本学科出发，应着重选对国民经济具有一定实用价值和理论意义的课题。课题具有先进性，便于研究生提出新见解，特别是博士生必须有创新性的成果ｂn是否一定存在，从而上述解法缺乏依据，是错误的．关于这类问题，我们常用“待定系数法”求解．　　另解：设ａn＋ｂn＝ｘ＋ｙ，则　　ａn＋ｂ

7、n＝ａn＋ｂn，　　从而有2ｘ＋ｙ＝1，3ｘ－ｙ＝1．　　解之得　ｘ＝2／5，ｙ＝1／5．　　∴　ａn＋ｂn＝＋，　　∴　＝［＋］＝＋＝2／5×5＋1／5×2＝12／5．　　这种讲授方法既巩固了数列极限的运算法则，又充分暴露了学生存在的问题，给学生留下了极为深刻的印象，深受评委们的一致好评．　　3.江苏省常州高级中学数学组根据多年教学积累的经验写了一本书《数学题误解分析》，其第6章题30如下：　　例3　已知＝7，＝4，求之值．　　误解：∵＝7，＝4，　　∴2ａn＋3ｂn＝7，　　①课题份量和难易程度要恰当，博士生能在二年内作出结果，硕士生能在一年

8、内作出结果，特别是对实验条件等要有恰当的估计。从本学科出发，应着重选对国民经济具有一定实用价值和理论意义的课题。课题具有先进性，便于研究