对勾函数图象性质

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1、对勾函数图象性质对勾函数:数学中一种常见而又特殊的函数。如图一、对勾函数f(x)=ax+bx的图象与性质对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数。它在高中教材上不出现，但考试总喜欢考的函数，所以也要注意它和了解它。(一)对勾函数的图像对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数，形如f(x)=ax+bx（接下来写作f(x)=ax+b/x）。当a≠0，b≠0时，f(x)=ax+b/x是正比例函数f(x)=ax与反比例函数f(x)=b/x“叠加”而成的函数。这个观点，对于理解它的性质，绘制它的图象，非常重要。当a，b同号

2、时，f(x)=ax+b/x的图象是由直线y＝ax与双曲线y=b/x构成，形状酷似双勾。故称“对勾函数”，也称“勾勾函数”、“海鸥函数”。如下图所示：a>0b>0a<0b<0对勾函数的图像（ab同号）当a，b异号时，f(x)=ax+b/x的图象发生了质的变化。但是，我们依然可以看作是两个函数“叠加”而成。（请自己在图上完成：他是如何叠加而成的。）对勾函数的图像（ab异号）一般地，我们认为对勾函数是反比例函数的一个延伸，即对勾函数也是双曲线的一种，只不过它的焦点和渐进线的位置有所改变罢了。接下来，为了研究方便，我们

3、规定a>0，b>0。之后当a<0，b<0时，根据对称就很容易得出结论了。(一)对勾函数的顶点对勾函数性质的研究离不开均值不等式。利用均值不等式可以得到：当x>0时，fx=ax+bx≥2ab当且尽当ax=bx时取等号，此时x=ba。当x<0时，fx=ax+bx≤-2ab当且尽当ax=bx时取等号，此时x=-ba。即对勾函数的定点坐标：A:ba,2ab、B:-ba,-2ab(二)对勾函数的定义域、值域由（二）得到了对勾函数的顶点坐标，从而我们也就确定了对勾函数的定义域、值域等性质。定义域：xx≠0；值域：{y

4、y>

5、2ab或y<-2ab}yXOy=ax(三)对勾函数的单调性对于函数fx=ax+bx：单调增区间：-∞,-ba∪ba,+∞)；单调减区间：-ba,0∪0,ba(四)对勾函数的渐进线由图像我们不难得到：对于函数fx=ax+bx，它的渐进线有两条：y=ax；y=0；(五)对勾函数的奇偶性：对勾函数在定义域内是奇函数，二、类对勾函数性质探讨函数，在为简单的单调函数，不予讨论。在有如下几种情况：(1)(2)(3)(4)设，，则，其定义域为(1)时，，在上分别单调递增。故在为单调递增函数。(2)时，，在上分别单调递减。故在

6、为单调递减函数(3)图像略当时，，。当且仅当，即取等号。当时，，当且仅当，即（因为，故舍掉）取等号。4)当时，，。当且仅当，即取等号。当时，，当且仅当，即取等号。四、对勾函数练习：1．若x>1.求的最小值2.若x>1.求的最小值3.若x>1.求的最小值4.若x>0.求的最小值5.已知函数（1）求(2)若对任意x∈[1,+∞],f(x)>0恒成立,求a范围6.:方程sin2x－asinx+4=0在[0,]内有解，则a的取值范围是__________7.函数的最小值为____________；函数的最大值为____

7、_____。8.函数的最大值为。9、若，则的最值是。10.函数的最小值是。11.若不等式在上恒成立，则的取值范围是。12.求函数的最值。13.14.