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时间:2018-11-25
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1、如何计算的值1、蒙特卡罗(MonteCarlo)法思想:取一正方形A,以A的一个顶点为圆心,A的边长为半径画圆,取四分之一圆(正方形内的四分之一圆)为扇形B。已知A的面积,只要求出B的面积与A的面积之比,就能得出,再由B的面积为圆面积的四分之一,利用公式即可求出的值。因此,我们的目的就是要找出的值。可以把A和B看成是由无限多个点组成,而B内的所有点都在A内。随机产生个点,若落在B内的有个点(假定A的边长为1,以扇形圆心为坐标系原点。则只要使随机产生横纵坐标、满足的点,就是落在B内的点),则可近似得出的值,即,由此就可以求出的值。程序(1):i=1;m=0;n=1000;fori=1:n
2、a=rand(1,2);ifa(1)^2+a(2)^2<=1m=m+1;endendp=vpa(4*m/n,30)程序运行结果:p=3.140000000000000000000000000002、泰勒级数法思想:反正切函数的泰勒级数展开式为:将代入上式有.利用这个式子就可以求出的值了。程序(2):i=1;n=1000;s=0;fori=1:ns=s+(-1)^(i-1)/(2*i-1);endp=vpa(4*s,30)程序运行结果:p=3.14059265383979413499559996126当取的值为10000时,就会花费很长时间,而且精度也不是很高。原因是时,的展开式收敛太慢
3、。因此就需要找出一个使得收敛更快。若取,则我们只有找出与的关系,才能求出的值。令,,根据公式有,则有。所以可以用来计算的值。程序():i=1;n=1000;s=0;s1=0;s2=0;fori=1:ns1=s1+(-1)^(i-1)*(1/2)^(2*i-1)/(2*i-1);s2=s2+(-1)^(i-1)*(1/3)^(2*i-1)/(2*i-1);ends=s1+s2;p=vpa(4*s,30)程序运行结果:p=3.14159265358979323846264338328显然,级数收敛越快,取同样的值可以得到更高的精度。以同样的方法,能得出,程序和上面的一样。这样的近似值可以精
4、确到几百位。3、数值积分法思想:半径为1的圆的面积是。以圆心为原点建立直角坐标系,则圆在第一象限的扇形是由与轴,轴所围成的图形,扇形的面积。只要求出扇形的面积,就可得出的值。而扇形面积可近似等于定积分的值。对于定积分的值,可以看做成曲线与轴,,所围的曲边梯形的面积。把分成等分,既得个点,,,组成个小区间,每一个小区间与轴,,所围成的图形是一个小曲边梯形。而梯形的面积计算公式是,对于第个小曲边梯形有上底为,下底为。所有小梯形的高都为。所以第个小曲边梯形的面积为。曲边梯形的总面积即定积分的值就是所有小梯形的面积总和。为了避免根号,我们也可以利用积分得出的值。我们可以利用对求曲边梯形的面积来
5、得出定积分的值,从而得出的值。程序(3):a=0;b=1;s=0;n=1000;i=0;h=(b-a)/n;fori=0:(n-1)xi=a+i*h;yi=1/(1+(xi)^2);xj=a+(i+1)*h;yj=1/(1+(xj)^2);s=s+(yi+yj)*h/2;endp=vpa(4*s,30)程序运行结果:p=3.14159248692312775830259852228对于数值积分法求值,以上程序简洁明了。我们也可以以做循环,用一条语句求出值。程序(3’):s=0;n=1000;forx=0:(1/n):(1-(1/n))s=s+(1/(1+x^2)+1/(1+(x+(1/
6、n))^2))*(1/n)/2;endp=vpa(4*s,30)程序运行结果:p=3.14159248692312775830259852228用以上三种方法求,都取1000时,泰勒级数法求,得到的近似值精度最高。
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