考研数学线性代数强化习题集-特征值和特征向量

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2、特征向量，那么.6、已知，则矩阵有一个特征值.7、若矩阵只有一个线性无关的特征向量，那么这个线性无关的特征向量是8、阶矩阵，求的特征值和特征向量.二．抽象型矩阵特征值与特征向量9、已知是四阶方阵的三个不同特征值的特征向量，则的取值为()（A）（B）（C）（D）且10、设是非奇异矩阵的一个特征值，则矩阵有一特征值为（A）（B）（C）（D）11、设为阶矩阵，为阶可逆矩阵，为矩阵属于特征值的特征向量，则下列矩阵中①②③④肯定是其特征向量的有（）个.（A）（B）（C）（D）12、设为阶矩阵，下列命题中正确的是（）（A）若为的特征向量，那么为的特征向量（B）若为的特征向量，那么为的特

3、征向量（C）若为的特征向量，那么为的特征向量（D）若为的特征向量，那么为的特征向量13、已知，，则的最大特征值为.14、设为阶可逆矩阵，的各行元素之和为，的各行元素之和为，则.三．综合应用15、设方阵满足条件,其中是的转置矩阵,为单位阵.试证明的实特征向量所对应的特征值的绝对值等于1.16、设向量都是非零向量,且满足条件.记阶矩阵.求:（1）;（2）矩阵的特征值和特征向量.Ⅱ参考答案一．数值型矩阵特征值与特征向量1、【答案】A【解析】因为是特征向量2、【答案】：【解析】：所以非零特征值为43、【答案】：【解析】：由题设得，，即所以，，又的特征多项式由此得，且必是方程的根，故

4、得和另一特征值.将代入，又可得.4、【答案】：【解析】：因（其中是的特征值），而有一特征值为0，故，解得.则解得的另一特征值为.5、【答案】：【解析】：设是矩阵属于特征值的特征向量，由定义，于是，即即解得.【评注】：若已知的特征向量，常用定义法由建方程组来求参数，本题不要求.6、【答案】：2【分析】：注意到有关系：.【解析】：矩阵除主对角元素之外，其余元素均差一负号，故有关系，其中，故有特征值.【评注】：本题不应由，先求出，再求的特征值，而是根据由定义直接得有特征值.应注意将已知条件改写为特征值的两个等价定义形式之一：.7、【答案】：【解析】：因只有一个线性无关特征向量，所

5、以特征值必是三重根，由得.且只有一个线性无关解，因此.，知，此时解向量为.【评注】：由于“不同特征值的特征向量线性无关”，因此当矩阵只有一个线性无关的特征向量时，其特征值必是重根.牢记，8、【分析】：这是具体矩阵的特征值和特征向量的计算问题,通常可由求解特征方程和齐次线性方程组来解决.【解析】：(Ⅰ)　当时，＝,得的特征值为，．对，　解得，所以的属于的全部特征向量为　　　　　　(为任意不为零的常数)．对，　　　　得基础解系为，，．故的属于的全部特征向量为　　　　　　(是不全为零的常数)．当时，,特征值为，任意维非零列向量均为特征向量．二．抽象型矩阵特征值与特征向量9、【答案

6、】：（A）【分析】：本题相当于已知线性无关，确定的值.将作为的行向量组，化其为阶梯形即可确定的值.【解析】：是三个不同特征值的特征向量，必线性无关，由知.故应选（A）.10、【答案】：（B）【解析】：的特征值，则的特征值，有一特征值有一特征值.故选（B）.11、【答案】（B）【解析】：由于为矩阵属于特征值的特征向量，可知.则；.故肯定是与的特征向量.对于与，与根据已知的条件无法计算，故不一定是它们的特征向量，故选（B）.12、【答案】（D）【解析】：（ⅰ）矩阵与的特征值相同，但特征向量不一定相同，故（A）错误.（ⅱ）假设为的特征向量，为其特征值，当时也为的特征向量.这是由于

7、.但反之，为的特征向量，那么不一定为的特征向量.例如，当时，，此时，任意维非零列向量都是的特征向量，故的特征向量不一定是的特征向量.可知（B）错误.（ⅲ）假设为的特征向量，为其特征值，则为的特征向量.这是由于.但反之，若为的特征向量，不一定为的特征向量.例如，假设其中.此时有，可知为的特征向量.但是矩阵两个不同特征值的特征向量，它们的和不是的特征向量.故（C）错误.（ⅳ）若为的特征向量，则存在实数使得，此时有，因此为的特征向量.可知（D）是正确的.故选（D）.13、【答案】：【解析】：由于矩阵的秩为，故的特征值为，