北航计算流体力学第19课

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1、第五讲高分辨率格式初步一．目的为什么那么重视高分辨率格式？是为了提高捕获激波和间断面的质量。对于光滑流动，无论是中心差分格式，还是矢通量分裂格式，其结果都是令人满意的，彼此之间无优劣之分。对于含激波这样强间断的流动，格式的优劣就显现出来了。中心差分是频散格式，求解过程中，激波前后会产生强烈的数值振荡。加入人工粘性，能够抑制数值振荡但是过大的耗散使激波变得很宽（5个网格点左右），从而降低了激波的分辩率。矢通量分裂格式是耗散格式，可以消除激波前后的数值振荡，但由于精度较低（一阶）、耗散较大使得激波的梯度被抹平，激波宽度仍然较大（3个网格点左右）。与中心差分格式不同，矢通

2、量分裂格式属于迎风格式，与后面要讲的高分辩率格式属同类，它为什么分辩率还不够高呢？解释如下：迁移方程（11-1）令（11-2）式中，，（11-3）结合式（11-2），（11-3），式（11-1）成为：（11-4）迎风格式（与矢通量格式相当）为（11-5）经过整理，可将迎风格式写成如下形式，（11-6）从上式可见，当时，二阶耗散消失了，这时差分格式会得到非物理解。实际上的点在实际流动中就是音速点。一维Euler方程扰动传播速度为和（这里表示音速）而音速点恰恰是激波区不可避免的！二．预备知识（一）激波管（黎曼问题）状态L初始状态（）膈膜状态R初始条件为：膈膜左侧：，当膈

3、膜右侧：，当假定：，而膈膜破裂之后，，将会发生什么？膈膜的初始位置膨胀波接触间断激波流动状态（）5接触间断：，，压力（Pa）熵/Rgas速度（m/s）流量（Kg/m2s）马赫数M密度（Kg/m3）激波管内流场情况（膈膜破裂之后6.1msec）初始条件为：，，　　　　，，1．②区：设，，根据Rankine-Hugoniot条件（简称R-H条件）有：2．③区根据间断面的定义，可得根据等熵关系，有而满足下列关系式：可用牛顿迭代法从上式中求出，于是②区和③区的气流状态完全确定。3．膨胀波扫过的区域⑤设膈膜位置为，膈膜破裂时间点为。则根据Riemann不变量的规律。沿特征线（

4、），有常数沿特征线（），有常数沿特征线（），等熵，有常数可得：可见，当膈膜破裂之后，激波管内气流参数完全由膈膜两侧的状态参数所决定，当然考察的位置和时间也是决定因素。（二）Riemann问题的理论分析1．对于一维问题，非线性守恒方程系统：（11-7a）（11-7b）古典解：如果方程（11-7a）的解U连续且U的一阶偏导数分段连续，则称U为古典解。弱解：对于方程（11-7a），如果它的解U为间断的不连续函数，则称其为弱解（也可称为广义解）。弱解满足下列条件：1）解U在所有连续点满足初始条件（11-7b）；2）在解U的光滑处，方程（11-7a）局部成立；3）在解U的间断

5、处满足Rankine-Hugoniot条件（11-8）式中，C为间断面的移动速度；下标“R”表示间断面右侧变量，“L”表示左侧变量。也可写成：式中，表示函数f在间断左右的跳跃。2．Riemann（黎曼）问题：一维Euler方程：（11-9）式中初始条件为：当之后，由初始间断的左右状态确定波态、波的强度和波之间的流动特性的问题称为Riemann问题。结论：黎曼问题（激波管）在数学上就是求解初始条件为突跃条件的一维欧拉方程解析解的问题。3．间断面的分类：1）弱间断：参数连续，而参数的导数不连续，例如膨胀波（稀疏波）；2）强间断：参数不连续（产生间断），例如激波和接触间断

6、。激波：满足R-H条件的间断；接触间断：流体不穿过波面，即满足：，即，间断前后压力和速度不变，只有密度发生跳跃可以证明，Riemann问题的解（Riemann解）是由一个向左移动的波，一个处于中间的接触间断和一个向右移动的波构成，向左向右移动的波或为激波、或为膨胀波（稀疏波）。三个波之间的参数呈定常状态。显然，之后，Riemann问题的解只由初始间断的左右状态、所确定，所以Riemann解可写成：上标表示Riemann解。