北航计算流体力学第6课

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1、FTCS格式假设，然后在n时层点引入扰动，这时FTCS格式成为整理得：（4-5）令，得：考察节点受扰动的影响，在节点上，FTCS格式可写成整理得：（4-6）再考察节点受扰动的影响整理得：（4-7）由（4-5）~（4-7）式可见，只要满足，就能保证扰动在n+1时层不被放大。下面考察扰动在n+2时层的影响首先考察点，FTCS格式为将式（4-5）~（4-7）代入上式得整理得（4-8）令，可得再考察节点，FTCS格式可写成将（4-5）~（4-7）代入上式，考虑到，有整理得:（4-9）最后考察节点，FTCS格式可写成考虑到，代入（4-6）入上式，有（4-10）根据对称条件，可得（4-11）（4-

2、12）还可继续考察n+3，n+4，…时层上扰动的影响，但这种方法并不能得到一个明确的定量关系。举例如下：1，取，扰动的传播情况如图所示，扰动被不断衰减；2，取，如图所示，扰动增长很快。当时，FTCS格式受扰动的影响当时，FTCS格式受扰动的影响叠加原理：对于线性偏微分方程，如果是它的解，则也是它的解。差分方程也满足迭加原理。假定是差分方程（FTCS格式）（4-13）的解，若（4-14）则也是差分方程（4-13）的解，即有：（4-15）将式（4-14）代入上式，得（4-16）由于也是（4-13）的解，因此上式分解为由此可见，考察方程（4-15）的稳定性，只需考察上述方程中任意一个方程的稳

3、定性即可。偏微分方程的解，可写成Fourier级数形式式中：，——频率，——波数，m，n为波的序号.令，称为振幅，上式可写成差分方程的解也可写成Fourier级数的形式式中，，.令,上式可写成Fourier级数中的某一分量为(4-17)于是:式中,称为相位.