北航计算流体力学第18课

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1、迁移方程（10-1）若a为大于零的正数，则Euler后差格式（10-2）稳定。若a为小于零的负数，则Euler前差格式（10-3）稳定。若a是可正可负的变量，则需将a进行分裂，令式中，，于是有，，迁移方程可写为，（10-4）迎风格式，（10-5）总是稳定的。当时，式（10-5）与（10-2）相当，当时，式（10-5）与（10-3）相当。对于一维Euler方程（10-6）式中，补充状态方程，（10-7）对于方程（10-6），若设则方程（10-6）成为（10-8）如何分裂A？两个步骤：1，求出A2，求出A的特征值

2、。可将矢通量F写成矢恒量U的显函数形式，即第1个步骤：（10-9）（10-10）第2个步骤，求出A的特征值。对A作相似变换（10-11）式中，对可以进行分裂，设（10-12）其中，由式（10-11）可得，（10-13）将（10-12）代入（10-13）得（10-14）（10-15）设于是式（10-14）成为从而完成了第2个步骤，分裂了A，于是Euler方程（10-8）可写成迎风格式可写成（10-16）这是非守恒型的迎风格式，并不常用。一．对守恒型Euler方程采用矢通量分裂措施应当直接分裂Euler方程中的F

3、，即对Euler方程（10-6）实施迎风格式，这就是所谓矢通量分裂格式。定理：若函数恒等地满足下列关系则称是一个次的齐次函数。对于这种函数，只要它可微，就有上式称为齐次函数的Euler公式。在Euler方程中，F是关于U的一次齐次函数，即。根据微分学中齐次函数的Euler公式，有（10-17）由于对A已进行了分裂（），于是有令（10-18）于是，完成了对F的分裂Euler方程（10-6）成为矢通量分裂格式可写为：归纳一下，分裂F的步骤：1．求出A（）2．找到矩阵P，使3．求出，（，）4．求出，（，）5．求得，

4、（，）对于二维和三维情况，可以依次类推。例如，对于二维Euler方程，同样可进行矢通量分裂，即于是，Euler方程就成为那么矢通量分裂格式可写成：二．矢通量分裂格式（采用矢通量分裂措施的差分格式）1．一阶精度显式格式2．空间精度为二阶的格式3．MacCormack格式由于采用了一侧差分，破坏了格式的对称性，只有一阶精度。4．AF格式（C-N格式）式中，下标b表示后差，f表示前差。对上式作近似分解：以上四个格式都是针对一维Euler方程的，可以直接推广到二维和三维。三．人工粘性MC格式和AF格式由于采用中心差分

5、使其等价微分方程中的二阶导数项都消失了，引起非物理的数值振荡，所以必须人为地把这些消失了的二阶项再加到格式中去，这些二阶项称为人工粘性。对于MC格式（以一维Euler方程为例），有对于AF格式（以二维Euler方程为例）式中，，，在以上格式中，、、、和均为待定系数。如何确定这些系数？四．人工粘性与矢通量分裂格式的关系对于迁移方程迎风格式（10-5）式中，，，代入上式，整理得，上式表明，迎风格式相当于Euler中心差分格式加上二阶粘性。对于一维Euler方程（10-19）简记——后差——前差——中心差则一阶精度

6、矢通量分裂格式可写为：（10-20）我们已知而，（10-21）而，（10-22）而，（10-23）于是，将式（10-23）代入式（10-22），有显然，令（10-24）于是，同理，代式（10-24）入式（10-21），有，于是（10-25）根据定义：代入式（10-25），得（10-26）代入一阶精度矢通量分裂格式（10-20），得（10-27）可见，一阶精度的矢通量分裂格式相当于中心差分格式加上二阶粘性。这是一条重要结论。另外，空间精度为二阶的矢通量分裂格式可写成（10-28）式中，一侧三点后差：一侧三点前差

7、：同理可从（10-28）导出下面的式子（10-29）式中，（四点中心差分）由（10-29）可得到另一条重要结论：空间二阶精度的矢通量分裂格式相当于中心差分格式加上四阶粘性。五．确定人工粘性的系数根据上述两条重要结论，可以确定MC格式和AF格式中的人工粘性系数、、、和。由（10-27）可知，应取一般用（谱半径）代替，于是就有同理可得，而由（10-29）可知，应取根据AF格式稳定性要求，不能取太大，一般取由于二阶人工粘性会降低格式的精度，因此只在激波区域（物理量变化剧烈的地方）加入；在光滑区，只需加入四阶粘性即可

8、。因此可以引入一个非线性人工粘性：式中，其中，，