周期性与对称性

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1、1.函数图象本身的对称性（自身对称）　1、  的图象关于直线对称。　2、　的图象关于直线对称。　3、　的图象关于直线对称。　4、　的图象关于直线对称。　5、　的图象关于点对称。　6、　的图象关于点对称。　7、　的图象关于点对称。　8、　的图象关于点对称。2.两个函数的图象对称性（相互对称）（利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解）　1、函数与图象关于直线对称。　2、函数与图象关于直线对称　3、函数与图象关于直线对称　4、函数与图象关于直线对称即直线对称　5、函数与图象关于X轴对称。　6、函数与图象关于Y轴对称。　7、函数与图象关于

2、原点对称3.函数的周期性　1、    的周期为　2、    的周期为　3、    的周期为　4、    的周期为　5、    的周期为　6、    的周期为　7、   的周期为　8、    的周期为　9、   的周期为　10、有两条对称轴和（   周期　11、有两个对称中心和      周期　12、有一条对称轴和一个对称中心 周期　13、奇函数满足   周期。　14、偶函数满足    周期。例题讲解题型一：对称性、周期性的证明例1.设曲线的方程是，将沿轴、轴正方向分别平移、个单位长度后得到曲线，　（1）写出曲线的方程；　（2）证

3、明曲线与关于点对称；　（3）如果曲线与有且仅有一个公共点，证明：．解：（1）曲线的方程为；　　（2）证明：在曲线上任意取一点，设是关于点的对称点，　　　则有，∴代入曲线的方程，　　　得的方程：      即可知点在曲线上．      反过来，同样证明，在曲线上的点的对称点在曲线上．      因此，曲线与关于点对称．　　（3）证明：因为曲线与有且仅有一个公共点，      ∴方程组　　有且仅有一组解，      消去，整理得，这个关于的一元二次方程有且仅有一个根，      ∴，即得，      因为，所以．例2.已知函数y=f

4、（x）=.（1）证明这个函数为偶函数；（2）证明T=是函数的一个周期，进而寻找函数是否有其他的周期，最后说明这个函数的周期组成什么集合.解：（1）对任意实数x，x与-x同为有理数或无理数，所以恒有f（x）=f（-x），又定义域关于原点对称，函数为偶函数；（2）当T=时，对任意实数x，x与x+同为有理数或无理数，所以恒有f（x）=f（x+），所以T=是函数的周期；当T为有理数时，对任意实数x以及有理数T，x与x+T同为有理数或无理数，所以恒有f（x）=f（x+T），所以T是函数的周期；当T为无理数时，f（-T）=0，f（-T+T）

5、=f（0）=1，所以T不是函数的周期，函数的所有周期组成有理数集合题型二：利用函数的周期性与对称性例3.已知函数是定义在R上的周期函数，周期，函数是奇函数．又知在[0,1]上是一次函数，在[1,4]上是二次函数，且在时函数取得最小值-5．　①证明：；　②求的解析式；　③求在上的解析式．解：①∵是以为周期的周期函数，∴，　　又∵是奇函数，∴，　　∴．　②当时，由题意可设，　　由得，∴，　　∴．　③∵是奇函数，∴，　　又知在上是一次函数，　　∴可设，而，　　∴，∴当时，，　　从而当时，，故时，．　　∴当时，有，∴．　　当时，，∴　　

6、∴．例4.已知函数的图象与的图象关于点对称。（1）求的值；（2）解.（1）设P(x,y)是h(x)图像上的一点，点P关于A(0,1)的对称点为Q(x0,y0),则x0=,y0=2.　,即，从而.   （2）　 　,　.　即  令，当时，　 .方法归纳：1.证明函数的对称性、周期性注重定义的使用2.注意对称性、周期性与奇偶性、单调性的综合运用，解题时注重数形结合思想的运用。实战训练1．定义在R上的函数不是常数函数，满足，，则函数（B）　A．是奇函数也是周期函数　　B．是偶函数也是周期函数　C．是奇函数但不是周期函数　　D．是偶函数

7、但不是周期函数　解析：由，知，所以以2为周期，再由　得，．令，则有，　∴是偶函数．故是偶函数也是周期函数．2、的定义在R上的奇函数，它的最小正周期为T，则的值为（A）　A．0　　B．　　C．T　　D．－3、设为奇函数，对任意，则等于（A）　A．－3　　B．3　　C．4　　D．－44、已知函数为偶函数，上是单调减函数，则（A）    A．B．C．D．5.设f(x)(x∈R)为偶函数，且f(x－)=f(x+)恒成立，x∈［2，3］时，f(x)=x，则x∈［－2，0］时，f(x)等于A.

8、x+4

9、                   

10、     B.

11、2－x

12、                       C.3－

13、x+1

14、                   D.2+

15、x+1

16、解析：根据y=f(x)以2为周期，画出函数图象可得出结论. 答案：C7.已知f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x+4