分数概念探讨

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1、分數概念探討一、單位分數與真分數1、單位分數的數學結構　　當一個不滿一個單位量（一塊、一公尺）的量，需要被測量並加以描述（數值化）時，產生了分數的問題，透過將原單位量加以等分割得到單位分量，再重複數個單位分量而得到與被測量等價的量，以分割的份數和單位分量的重複次數的並置，作為被測量的指標。例如，以一條給定長度（例如1公尺）的繩子作測量基準的單位量（或稱之基準量），來描述未知長度的繩子（例如75公分），可以將給定長度的繩子做4等分的等分割，而獲得單位分量（25公分），重複3個單位分量恰好可以合成與被測量量等價的

2、量（75公分），並置4等分與3個單位分量，用條（公尺）來描述此未知長度的繩子，在中國語言系統中，唸作「四分之三條（公尺）」（圖一）。（圖一）2、單位分數的認知結構首次引入分數的認識時，對「1」單位進行等分割活動，在等分成數份後，再以原始的「1」為單位，進行對一份分量的命名活動，以建立起始的單位分數意義，由於是初次接觸，故在此時（二年級下學期）介紹的分數，分母皆在10以內（不包含1），而分子限定為1，所謂起始的單位分數，是指此分數只是一個分量的指示詞，而本身不能當作單位，來進行計數活動。　　宛如在開始學習正整數

3、時，學童使用標準數詞序列中的數詞來對應一個量，當時的「3」是對應一個有3個元素的集合，而3並不能當作單位來計數，在後續活動中，才能逐漸地將「3」當作單位來計數；相對地，此時（二年級下學期）的分數活動，是協助學童發展單位分數數詞的意義，一個單位分數數詞對應一個單位分量，例如：用「三分之一條繩子」，來描述一條繩子被3等分割後的一段繩子，希望學童能逐漸地形成單位分數的概念（例如能將「三分之一」視為單位，可被計數），屆時才能引入真分數的意義（例如三分之二為2個三分之一的合成）。3、單位分數的教學策略A、長度連續量為了

4、進行「1」單位的等分割活動的首引，於是先選擇繩子做道具，對一條繩子的長度性質，做等分割活動，選擇繩子的原因是：繩子只有一個明顯的長度性質，不似紙條，同時具有長度與寬度兩種性質，當學童被要求對紙條進行等分割活動時，用長度性質來進行活動，或用寬度來進行，容易造成混亂，故建議先使用繩子，以方便溝通形成共識。　　　　在繩子的等分割活動中，先進行將一條繩子2等分或4等分的等分割活動，學童在進2等分或4等分的等分割活動時，可能較無操作上的困難，可以實際執行活動。在等分割後，建議不讓學童將其切斷（圖二），而只是在分割處做上

5、記號，其用意是：累進性合成運思的學童，在將繩子切斷後（圖三），原來的「1」條繩子即不存在，但是在只做記號的情況下，學童能在感官知覺上，同時看到一條繩子，與分割後的一段繩子，能「看到」分量（一段）為「1」單位量（一條）的部份。　　（圖三）（圖二）在引入起始的單位分數意義時，希望學童能學習到一份分量是由單位量（「1」）等分割而製成，一份分量為單位量的部份，而以「1」為單位來命名分量，所以在活動中，先進行單位量「1」的分割活動，將單位量「1」與各份分量併置，保留其「整體─部份」的關係，再討論如何用「1」為單位來進行

6、命名。　　在2等分割或4等分割單位量「1」的活動中，學童可能尚會用日常用語來命名分量，例如「一半」或「一半的一半」，在此時的命名活動中，教師宜以形成班級共識為目標，不必提出「約定成俗」的用語「二分之一」，但如果已有人提出「二分之一」或「四分之一」的說法，亦應訴諸社會共識，使其成為可以幫助溝通的名字。　　接者進行3、5、7等分割「1」單位量的活動，較可能引發討論命名系統的機會，由於等分割技術性上的問題，在進行3、5、7等分割「1」單位量時，教師宜先行製作道具，不必由學童執行等分割活動，以免分割的技術問題干擾了命

7、名活動，只要學童能透過各分量的比較活動，認可教師道具上的記號已完成了等分割活動的要求即可。　　　　在完成了3等分割「1」單位量的活動後，可以透過討論，指出同樣長的繩子，經過2、3、4等分割後的一段皆不等長，2等分割與4等分割後的一段繩子都已有了全班共識的名字，現在也需為不一樣長的「3等分後的一段繩子」加以命名，並且強調希望一聽名字，就知道這一段繩子是一條繩子平分成3段後的一段。在討論與選擇適當的名字時，教師首先應注重在名字中，是否已表示出「3」、「分」、「1」等元素，如此才能有「三分之一」的語意，如果學童已出

8、現「三分之一」的名稱，在選擇時則宜先訴諸社會共識，先進行討論「約定成俗」用語的意義，將2等分割與4等分割後的一段繩子予以重新命名，仿照「三分之一」的方式，將其命名為「二分之一」與「四分之一」，建立單位分量命名的模式，然後再仿照「三分之一」的方式，繼續對5等分割或7等分割「1」單位量的單位分量，進行命名活動。　　　　如果學童未出現「三分之一」的描述，則全班選用一個含有「三」、「分」、「一」元素的名字，