二次函数图象和性质知识点总结

《二次函数图象和性质知识点总结》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。

1、二次函数的图象和性质知识点总结一、知识点回顾1.二次函数解析式的几种形式：①一般式：（a、b、c为常数，a≠0）②顶点式：（a、h、k为常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标。③交点式：，其中是抛物线与x轴交点的横坐标，即一元二次方程的两个根，且a≠0，（也叫两根式）。 2.二次函数的图象①二次函数的图象是对称轴平行于（包括重合）y轴的抛物线，几个不同的二次函数，如果a相同，那么抛物线的开口方向，开口大小（即形状）完全相同，只是位置不同。②任意抛物线可以由抛物线经过适当的平移得到，移动规律可简记为：[左加右减，上加下减

2、]，具体平移方法如下表所示。③在画的图象时，可以先配方成的形式，然后将的图象上（下）左（右）平移得到所求图象，即平移法；也可用描点法：也是将配成的形式，这样可以确定开口方向，对称轴及顶点坐标。然后取图象与y轴的交点（0，c），及此点关于对称轴对称的点（2h，c）；如果图象与x轴有两个交点，就直接取这两个点（x1，0），（x2，0）就行了；如果图象与x轴只有一个交点或无交点，那应该在对称轴两侧取对称点，（这两点不是与y轴交点及其对称点），一般画图象找5个点。3.二次函数的性质函数二次函数a、b、c为常数，a≠0（a、h、k

3、为常数，a≠0） a＞0a＜0a＞0a＜0图象 (1)抛物线开口向上，并向上无限延伸(1)抛物线开口向下，并向下无限延伸(1)抛物线开口向上，并向上无限延伸(1)抛物线开口向下，并向下无限延伸性(2)对称轴是x＝，顶点是（）(2)对称轴是x＝，顶点是（）(2)对称轴是x＝h，顶点是（h，k）(2)对称轴是x＝h，顶点是（h，k）质(3)当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大(3)当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小(3)当时，y随x的增大而减小；当x＞h时，y随x的增大而增大。(3)当x＜h时，

4、y随x的增大而增大；当x＞h时，y随x的增大而减小 (4)抛物线有最低点，当时，y有最小值，(4)抛物线有最高点，当时，y有最大值，(4)抛物线有最低点，当x＝h时，y有最小值(4)抛物线有最高点，当x＝h时，y有最大值 4.求抛物线的顶点、对称轴和最值的方法①配方法：将解析式化为的形式，顶点坐标为（h，k），对称轴为直线，若a＞0，y有最小值，当x＝h时，；若a＜0，y有最大值，当x＝h时，。②公式法：直接利用顶点坐标公式（），求其顶点；对称轴是直线，若若，y有最大值，当5.抛物线与x轴交点情况：对于抛物线①当时，抛物

5、线与x轴有两个交点，反之也成立。②当时，抛物线与x轴有一个交点，反之也成立，此交点即为顶点。③当时，抛物线与x轴无交点，反之也成立。 二、考点归纳考点一求二次函数的解析式例1.已知二次函数f（x）满足f（2）＝－1，f（－1）＝－1，且f（x）的最大值是8，试求f（x）。解答：法一：利用二次函数的一般式方程设f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0），由题意故得f（x）＝－4x2＋4x＋7。法二：利用二次函数的顶点式方程设f（x）＝a（x－m）2＋n由f（2）＝f（－1）可知其对称轴方程为，故m＝；又由f（x）的最大值是8可知

6、，a<0且n＝8；由f（2）＝－1可解得a＝－4。故。法三：利用二次函数的零点式方程由f（2）＝－1，f（－1）＝－1可知f（x）＝－1的两根为2和－1，故可设F（x）＝f（x）＋1＝a（x－2）（x＋1）。又由f（x）的最大值是8可知F（x）的最大值是9，从而解得a＝－4或0（舍）。所以f（x）＝－4x2＋4x＋7。说明：求函数解析式一般采用待定系数法，即先按照需要设出函数方程，然后再代入求待定系数。考点二二次函数的图像变换例2.（2008年浙江卷）已知t为常数，函数在区间[0，3]上的最大值为2，则t＝。解答：作出的

7、图像，I、若所有点都在x轴上方，则ymax＝f（3）＝2可解得t＝1；II、若图像有部分在x轴下方，把x轴下方的部分对称地翻折到x轴上方即可得到的图像，则ymax＝f（1）或ymax＝f（3），解得t＝－3或t＝1，经检验，t＝1。综上所述，t＝1。考点三二次函数的图像的应用例3.已知函数f（x）＝4x2－mx＋5在区间[－2，＋∞]上是增函数，则f（1）的范围是（）A.f（1）≥25B.f（1）＝25C.f（1）≤25D.f（1）>25解答：函数f（x）＝4x2－mx＋5在区间[－2，＋∞）上是增函数，则区间[－2，＋

8、∞）必在对称轴的右侧，从而，故f（1）＝9－m≥25。选A。说明：解决此类问题结合函数图像显得直观。考点四二次函数的性质的应用例4.设的定义域是[n，n＋1]（n是自然数），试判断的值域中共有多少个整数？分析：可以先求出值域，再研究其中可能有多少个整数。解答：的对称轴为，因为n是自然数，故，所以函数在[n，n＋1]上