运筹学II练习题.doc

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1、运筹学II练习题1试判定下述非线性规划是否为凸规划：（1）（2）（3）max解（1）的海赛矩阵的行列式：知为严格凸函数，为凸函数，为凹函数，所以不是一个凸规划问题。（2）同上有的海赛矩阵的行列式是凹函数，是凸函数，不是凸规划问题。（3）min说明是凸函数，、、是凹函数。因此，本模型是一个凸规划。2试用斐波那契法求函数在区间[0，10]上的极小点，要求缩短后的区间长度不大于原区间长度的8%。（1.5）3用分数法求在区间上的近似极小点，要求缩短后的区向长度不大于原区间长的8%。（0.538）4试用最速下降法求函数的极大点，先以为初始点进

2、行计算，求出极大点；再以为初始点进行两次迭代。最后比较从上述两个不同初始点出发的寻优过程。（2，0）解求的极大点，即求的极小点。（1）取初始点，取精度即即为极小点。为的极大点。（2）取初始点，取精度，同上方法进行两次迭代有：两次步长两次迭代结果比较：对于目标函数的等值线为椭圆的问题来说，椭圆的圆心即为最小值，负梯度方向指向圆心，但初值点与圆心在同一水平直线上时，收敛很快，即尽量使搜索路径呈现较少的直角锯齿状。5求的极小点，取。(1,1)解由于，故即极小点，计算经两步终止。6试用牛顿法求解(0,0)取初始点。解求的极大点，即求的极小点

3、。，，，所以极大点为7试用共轭梯度法求二次函数(0,0)的极小点，此处解现从，开始于是故故得到极小值点8考虑下面的非线性规划：max验证它为凸规划，并用K-T条件求解。(0,3)解原问题可写为min计算目标和约束函数的海赛阵故此问题是凸规划。K-T条件表达式为若，则无解，于是，有令，则有解得，显然是可行点，从而是极小点。9试写出下述非线性规则的Kuhn-Tucker条件并进行求解：清华版，7章例110求解二次规划min()见天大版例3-1611试解二次规划解将上述二次规划改写为可知目标函数为严格凸函数，此外由于和小于零，故引入的人工

4、变量和前面取负号，这样得到线性规划问题如下解此线性规划问题得12试用SUMT外点法求解（1，2）解原问题转化为构造惩罚函数解得最优解为13一工人管2台机器，每台机器发生故障前的运转时间为具有均值为1/2小时的负指数分布，修理时间也属负指数分布，均值为1/3小时。（1）画出转速图。（2）列出平衡方程式求出状态概率P0，P1，P2。（3）求故障机器数的均值Ls。（4）一台机器每次停机时间均值Ws。解（1）λ1＝2台/小时，μ＝3台/小时M/M/1/·/2模型2λ1＝4λ1＝2μ＝3μ＝3（2）3P1＝4P0,5P1=4P0+3P2,3P

5、2＝2P1P1＝P0，P2＝P0＝P0P0＋P1＋P2＝P0＋P0＋P0＝1∴P0＝P1＝P2＝（3）Ls＝0P0＋1P1＋2P2＝＋＝（台）＝0.966（4）λe＝μ（1－P0）＝3（1－）＝Ws＝＝＝0.47（小时）＝28（分钟）14某风景区有一小客店，每天平均到达4人，顾客平均逗留时间为2天，到达服从泊松分布，逗留时间服从负指数分布，若该旅馆只有（C＝）2个单人房间，客房住满时再到达的顾客会离去（N＝2）。（M/M/2/2模型）（1）画出转速图，列出平衡方程式。（2）求空闲概率P0和满员概率P2。（3）求每天客房占用数的均值L

6、s。解λ＝4人/天μ＝1/2人/天（1）λλμ2μ1/2P1＝4P0P1＝8P0P2＝4P1P2＝32P0（2）1＝P0（1＋8＋32）＝41P0P0＝1/41P1＝8/41P2＝32/41（3）Ls＝（间）空闲概率为P0＝1/41满员概率为P2＝32/41客房占用数均值为1.76（间）15某加油站有一台加油设备，加油的汽车以平均每5分钟1辆的速度到达，服从泊松分布，加油时间服从负指数分布，平均每辆车的加油时间为4分钟。试求：（1）这个加油站平均有多少辆汽车在等待加油？（2）每辆汽车为在这里加油平均需耗费多长时间？（3）管理部门规定

7、，若加油的平均等待时间超过3分钟或系统内的平均汽车数超过8辆，则需要增加加油设备，试计算现在的情况是否需要增加加油设备？（4）如果加油的汽车流有所变化，那么当l超过多少时需要增加加油设备？需要增加加油设备；故当λ超过（3／28）时，需要增加加油设备。16设表示系统中顾客数，表示队列中等候的顾客数，在单服务台系统中，我们有试说明它们的期望值，而是。根据这关系式给以直观解释。解因为为单服务台，只有超过1个顾客时，才会出现排队等待。则17在模型中，如，试证：下式成立于是解在模型中，其状态转移图如下：则又则，依次类推又，则即故18对于模型，

8、试证：并对上式给予直观的解释。解设由模型的数字特征有故当时显然当时即则即故由于系统的容量为N，则有效到达率为：当系统平衡时，有效到达率和有效服务率应当相等，即19对于模型，试证，并给予直观解释。证由于系统的有效服务率为：表示系统中平均