考研数学特征向量的特殊计算和证明技巧.doc

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1、2015考研数学：特征向量的特殊计算和证明技巧来源：文都教育在上一篇文章中，向大家介绍了考研数学中线性代数部分的关于特征向量的一般计算和证明方法，这些方法对大部分有关特征向量的计算或证明问题都能解决，但对某些特殊的矩阵，这些方法则显得不太灵活，解题效率不高，为此，老师将向大家介绍关于矩阵的特征向量的某些特殊计算和证明技巧，供各位考生参考，希望对大家有所帮助。特征向量的特殊计算和证明技巧：对于特征向量的有关计算和证明问题，除了在上一篇文章中说的一般方法外，对一些特殊的矩阵，还可以应用一些特殊的计算和证明技巧，具

2、体说有：1）若矩阵的各行元素之和均相等，则向量为的一个特征向量；2）若矩阵可以表示为两个向量的乘积：，，则是的一个特征向量；3）若秩（）=，则有个线性无关的解，即属于特征值的有个线性无关的特征向量；4）若，则的非零列向量都是的特征向量，对应的特征值为0；典型例题分析：例1.设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3,向量是线性方程组A=0的两个解,求A的全部特征向量。（2006年考研真题数学一和三（21）、数学二（23）题)分析：由矩阵的各行元素之和均为3，可得的一个特征向量；由是方程组的解，可知它们也是的特征向

3、量。解析：∵，即，而且线性无关，∴是矩阵的二重特征值，是其对应的特征向量，对应于的全部特征向量为，其中为不全为零的任意常数。由矩阵的各行元素之和均为3，得，因此是对应于的特征向量，其对应的全部特征向量为，为任意常数。综上得，A的全部特征向量为，，其中为不全为零的任意常数，为任意常数。例2.证明阶矩阵与相似。（2014年考研真题数学一、数学二、数学三（21）题）分析：这个问题可以按照一般的方法证明，也可以采用特殊技巧证明，下面用后者证之。证明：根据两个矩阵的特殊形式，可以将对称矩阵分解为两个向量的乘积：，，对，

4、∵，故是属于的特征向量；由，得有个线性无关的解，即属于特征值的线性无关特征向量有个，因此相似于，同理可证，，是属于的特征向量；由，得有个线性无关的解，即属于特征值的线性无关特征向量有个，故也相似于，故与相似。注：本题也可以根据特征多项式及分别求出和的所有特征值，并证明与都可对角化，从而证明与相似。上面就是老师对考研数学中的特征向量的一些特殊计算和证明技巧的分析，在后面老师还将向大家介绍特征值和特征向量方面的其它题型的解题方法和技巧，希望各位考生留意查看。最后预祝各位学子在2015考研中取得佳绩，成功实现自己的

5、人生梦想。