初三数学动点问题

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1、（2015•大连）如图1，在△ABC中，∠C=90°，点D在AC上，且CD＞DA，DA=2，点P，Q同时从点D出发，以相同的速度分别沿射线DC、射线DA运动，过点Q作AC的垂线段QR，使QR=PQ，连接PR，当点Q到达点A时，点P，Q同时停止运动．设PQ=x，△PQR与△ABC重叠部分的面积为S，S关于x的函数图象如图2所示（其中0＜x≤，＜x≤m时，函数的解析式不同）．（1）填空：n的值为　　；（2）求S关于x的函数关系式，并写出x的取值范围．【考点】动点问题的函数图象．菁优网版权所有【专题】压轴题．【分

2、析】（1）当x=时，△PQR与△ABC重叠部分的面积就是△PQR的面积，然后根据PQ=，QR=PQ，求出n的值是多少即可．（2）首先根据S关于x的函数图象，可得S关于x的函数表达式有两种情况：当0＜x≤时，S=×PQ×RQ=x2，判断出当点Q点运动到点A时，x=2AD=4，据此求出m=4；然后求出当＜x≤4时，S关于x的函数关系式即可．【解答】解：（1）如图1，，当x=时，△PQR与△ABC重叠部分的面积就是△PQR的面积，∵PQ=，QR=PQ，∴QR=，∴n=S=×（）2=×=．（2）如图2，，根据S关于

3、x的函数图象，可得S关于x的函数表达式有两种情况：当0＜x≤时，S=×PQ×RQ=x2，当点Q点运动到点A时，x=2AD=4，∴m=4．当＜x≤4时，S=S△APF﹣S△AQE=AP•FG﹣AQ•EQ，AP=2+，AQ=2﹣，∵△AQE∽△AQ1R1，，∴QE=，设FG=PG=a，∵△AGF∽△AQ1R1，，∴AG=2+﹣a，∴a=，∴S=S△APF﹣S△AQE=AP•FG﹣AQ•EQ=（2）（2）﹣（2﹣）•（2）=﹣x2+∴S=﹣x2+．综上，可得S=故答案为：．【点评】此题主要考查了动点问题的函数图象

4、，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图．（2015秋•沙河口区期末）Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=4，如图1，点P从C出发向点B运动，点R是射线PB上一点，PR=3CP，过点R作QR⊥BC，且QR=aCP，连接PQ，当P点到达B点时停止运动．设CP=x，△ABC与△PQR重合部分的面积为S，S关于x的函数图象如图2所示（其中0＜x≤，＜x≤m，m＜x≤n时

5、，函数的解析式不同）．（1）a的值为　4　；（2）求出S关于x的函数关系式，并写出x的取值范围．【考点】动点问题的函数图象．菁优网版权所有【分析】（1）由图2可知当x=时S=，且此时Q点在线段AB上，利用三角形面积公式即可求出a的值；（2）由Q点和R点的位置，可将整个移动过程分成三部分，借用三角形相似，找个各边的关系，分割图形，既能找出S和x之间的关系式．【解答】解：（1）由图2可知，当x=时，点Q在线段AB上，且此时的S=，PR=3CP=，QR=aCP=a，∵QR⊥BC，∴S=PR•QR=××a=，即27

6、a=108，解得a=4．故答案为4．（2）当x=时，Q点在线段AB上，如图3，∵AC⊥BC，QR⊥BC，∴AC∥QR，∴△ABC∽△QBR，∴=．QR=4CP=，PR=3CP=，BR=BC﹣CP﹣PR=，AC=•QR=•=3．①当点Q在△ACB内时，即0＜x≤时，如图1，PR=3x，QR=4x，S=PR•QR=6x2．②当点Q在△ACB外且R点在线段CB上时，如图4，此时x＞，且CR≤BC，∵CR=CP+PR=4x，∴＜x≤1．∵==，∴△PQR∽△ABC，∴∠Q=∠B，∵∠DEQ=∠REB（对顶角），∴△

7、DEQ∽△REB．在Rt△ACB中，由勾股定理可知AB==5，∵AC∥QR，∴△EBR∽△ABC，∴=，RB=BC﹣CP﹣PR=4﹣4x，AC=3，BC=4，∴RE=3﹣3x．QE=QR﹣RE=4x﹣（3﹣3x）=7x﹣3．∵△DEQ∽△REB，△EBR∽△ABC，且AC=3，BC=4，AB=5，∴DE=QE，QD=QE，QD⊥DE．S=PR•QR﹣QD•DE=﹣x2+x﹣．③当点R在线段CB的延长线上时，如图5，此时CR=4x＞BC=4，得x＞1；CP=x≤BC=4．即1＜x≤4．∵△ABC∽△PQR，∴

8、∠QPR=∠A，∵∠PBM=∠ABC，∴△PBM∽△ABC，∴PM=PB，MB=PB．∵PB=BC﹣CP=4﹣x，∴S=PM•MB=（4﹣x）2=x2﹣x+．综合①②③可得：S=．【点评】本题考查了动点问题的函数图象，解题的关键是：（1）由图2找出S的面积，套入三角形面积公式；（2）画出图形，结合三角形相似，找到边角关系，分割图形即可．（2015秋•甘井子区期末）如图1，矩形ABCD，动点E从B点出发匀速沿着边B