数学建模-2010暑假

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1、在数学建模竞赛过程中，规划模型是最常见的一类数学模型。从92-09年全国大学生数模竞赛试题的解题方法统计结果来看，规划模型共出现了18次，占到了50%，也就是说每两道竞赛题中就有一道涉及到利用规划理论来分析、求解。线性规划、非线性规划；线性规划问题：求多变量线性函数在线性约束条件下的最优值。非线性规划问题：求多变量线性（非线性）函数在线性（非线性）约束条件下的最优值。线性规划：例1：任务分配问题：某车间有甲、乙两台机床，可用于加工三种工件。假定这两台车床的可用台时数分别为800和900，三种工件的数量分别为400、600和500

2、，且已知用三种不同车床加工单位数量不同工件所需的台时数和加工费用如下表。问怎样分配车床的加工任务，才能既满足加工工件的要求，又使加工费用最低？解：设在甲车床上加工工件1、2、3的数量分别为x1、x2、x3，在乙车床上加工工件1、2、3的数量分别为x4、x5、x6。可建立以下线性规划模型：求解线性规划模型，可以使用单纯形法，建议使用软件，比如Lindo，Matlab等。Lindo更专业一些，可以有灵敏度分析。而在实际的建模中，一般是肯定要考到灵敏度分析的。例如使用Lindo求解，输入以下文字：min13x1+9x2+10x3+11

3、x4+12x5+8x6st2)x1+x4=4003)x2+x5=6004)x3+x6=5005)0.4x1+1.1x2+x3<8006)0.5x4+1.2x5+1.3x6<900end结果：LPOPTIMUMFOUNDATSTEP231OBJECTIVEFUNCTIONVALUE1)13800.00VARIABLEVALUEREDUCEDCOSTX10.0000002.000000X2600.0000000.000000X30.0000002.000000X4400.0000000.000000X50.0000003.00000

4、0X6500.0000000.000000ROWSLACKORSURPLUSDUALPRICES2)0.000000-11.0000003)0.000000-9.0000004)0.000000-8.0000005)140.0000000.0000006)50.0000000.000000NO.ITERATIONS=2例2：某厂每日8小时的产量不低于1800件。为了进行质量控制，计划聘请两种不同水平的检验员。一级检验员的标准为：速度25件/小时，正确率98%，计时工资4元/小时；二级检验员的标准为：速度15小时/件，正确率95%

5、，计时工资3元/小时。检验员每错检一次，工厂要损失2元。为使总检验费用最省，该工厂应聘一级、二级检验员各几名？解：设需要一级和二级检验员的人数分别为x1、x2人,则应付检验员的工资为：因检验员错检而造成的损失为：故目标函数为：约束条件为：整理约束条件得：31软件求解，Lindo输入：min40x1+36x2st2)5x1+3x2>453)x1<94)x2<15end结果：LPOPTIMUMFOUNDATSTEP1OBJECTIVEFUNCTIONVALUE1)360.0000VARIABLEVALUEREDUCEDCOSTX19

6、.0000000.000000X20.00000012.000000ROWSLACKORSURPLUSDUALPRICES2)0.000000-8.0000003)0.0000000.0000004)15.0000000.000000NO.ITERATIONS=1注：本问题应还有一个约束条件：x1、x2取整数。故它是一个整数线性规划问题。这里把它当成一个线性规划来解，求得其最优解刚好是整数：x1=9，x2=0，故它就是该整数规划的最优解。若用线性规划解法求得的最优解不是整数，将其取整后不一定是相应整数规划的最优解，这样的整数规划

7、应用专门的方法求解。比如分支定界法、割平面法等等。在Lindo中只需加入一个命令即可：min40x1+36x2st2)5x1+3x2>453)x1<94)x2<15endgin2注：如果想让变量取值为0-1，用int。3131313131313131313131动态规划：例7：某种机器可以在高低两种不同的负荷下生产。高负荷下生产时，产品的产量g和投入生产的机器数量x的关系为g=9x，此时机器的年完好率为0.6；低负荷下生产时，产品的产量h和投入生产的机器数量y的关系为h=7y，此时机器的年完好率为0.9.假设开始生产时完好的机器

8、数量为s=1000台，要求制定一个三年计划，在每年开始时，决定如何分配完好的机器在两种不同的负荷下生产的数量，使在三年内产品的总产量达到最高，并给出最高产量。解：设阶段序数表示年度，设表示第年初拥有的完好机器数量，同时也是第年度结束时的完好机器数量。设变量表示第