数值积分与数值微分课件.doc

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1、第5章数值积分与数值微分方法关于定积分计算，已经有较多方法，如公式法、分步积分法等，但实际问题中，经常出现不能用通常这些积分方法计算的定积分问题。怎样把这些通常方法失效的定积分在一定精度下快速计算出来，特别是通过计算机编程计算出来就是本章研究的内容。此外，怎样根据函数在若干个点处的函数值去求该函数的导数近似值也是本章介绍的内容。本章涉及的方法有Newton-Cotes求积公式、Gauss求积公式、复化求积公式、Romberg求积公式和数值微分。5.1引例人造地球卫星轨道可视为平面上的椭圆。我国的第一颗人造地球卫星近地点距离地球表面439km，远地点距地球表面2384km，地球半

2、径为6371km，求该卫星的轨道长度。本问题可用椭圆参数方程来描述人造地球卫星的轨道，式中a,b分别为椭圆的长短轴，该轨道的长度L就是如下参数方程弧长积分但这个积分是椭圆积分，不能用解析方法计算。5.2问题的描述与基本概念要想用计算机来计算，应对其做离散化处理。注意到定积分是如下和式的极限要离散化，做1）去掉极限号2）将取为具体的值3）为减少离散化带来的误差，将用待定系数代替于是就得到定义5.1若存在实数且任取都有（5.1）则称式(5.1)为一个数值求积公式。称为求积系数，称为求积节点;而称（5.2）为求积余项或求积公式（5.1）的截断误差。从定义可以看到，数值求积公式依赖于求

3、积节点个数n、求积节点和求积系数，这三个量有一个发生变化，则产生不同的求积公式。定义5.2若求积公式对所有不超过m次的多项式有求积余项，而对某一个m+1次多项式有，则称该求积公式的代数精度为m。一般，一个求积公式的代数精度越大，则该求积公式越好。确定代数精度的方法依次取代入公式并验证是否成立。若第一个使不成立的k值为m，则对应的代数精度为m-1。例5.1确定求积公式的代数精度。解取代入求积公式有易验证，但，故本题求积公式代数精度为3。例5.2确定下面求积公式的参数A，B，C，使它具有尽可能高的代数精度，并指出相应的代数精度。解本题要先求出具体的求积公式，然后再判断所求公式的代数

4、精度。公式有3个待定参数，h不是求积公式的参数，故利用3个条件得到的3个等式关系就可以解决求出具体求积公式的问题。依次取代入求积公式并取等号，有解之得故所求的求积公式为为确定其代数精度，再取代入求出的公式继续计算，有，故所求的求积公式具有二阶代数精度。5.3插值型求积公式借助多项式插值函数来构造的求积公式称为插值型求积公式。一般选用不同的插值公式就可以得到不同的插值型求积公式。基本思想利用被积函数的插值函数代替做定积分的近似计算来构造求积公式。1.构造原理考虑在n个节点上的n-1次Lagrange插值多项式与的余项，有这里。两边取积分,有记（5.3）则有（5.4）若舍去，得求积

5、公式求积系数的求积公式就是插值型求积公式。插值型求积公式的求积余项当为次数小于n次的多项式时，有，对应的。因此插值型求积公式的代数精度至少为n-1。若取，代入式(5.4)，可得插值型求积公式的求积系数之和为下面具体介绍常用的几个插值型求积公式。2.Newton-Cotes求积公式1)n点的Newton-Cotes公式的构造将求积节点取为[a,b]上的等距节点做积分变量变换:则当时,有,于是有插值型求积公式的求积系数为记，则有常称为Cotes系数，易验证通常称（5.6）为n点的Newton-Cotes公式。由于求积节点是等距的，因此也称式（5.6）为等距节点求积公式。利用可以得出

6、下面常用的Newton-Cotes公式A)2点的Newton-Cotes公式（5.7）这正是我们熟悉的梯形公式。B)3点的Newton-Cotes公式为（5.8）称它为Simpson公式或抛物线公式。表5.1部分Cotes系数n23456789例5.3试分别用梯形公式和Simpson公式计算解用梯形公式计算，有用Simpson公式计算，有2）n点Newton-Cotes公式的代数精度定理5.1当求积节点个数n为奇数时，对应的Newton-Cotes求积公式的代数精度至少为n。证明由于是插值型求积公式，故有对有记，易知，故是奇函数，得，得证。3）梯形公式与Simpson公式的余项

7、引理5.1(积分中值定理)设，在上不变号，则有梯形公式余项为在[a,b]不变号，有2阶连续导数，由引理5.1，有梯形公式余项（5.9）抛物线公式的余项（5.10）4）Newton-Cotes公式的数值稳定性设计算函数时产生舍入误差为实际在计算机中参加计算的是的近似值故Newton-Cotes公式在计算机中产生的误差为若记，则有由Cotes表5.1,当时,，有说明此时计算舍入误差可以控制，从而Newton-Cotes公式是数值稳定的。但当n>8时，有正有负，随n增大而增大，从而导致舍入误差增加