2011年高三数学一轮复习精品导学案：第六章 不等式、推理与证明（6.2推理与证明）

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1、第二节推理与证明【高考目标定位】一、合情推理与演绎推理1、考纲点击（1）了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用；（2）了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理；（3）了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异。2、热点提示（1）以选择题、填空题的形式考查合情推理；（2）以选择题或解答题的形式考查演绎推理（3）题目难度不大，多以中低档题为主。二、直接证明与间接证明1、考纲点击（1）了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点；（2）

2、了解间接证明的一种基本方法——反证法，了解反证法的思考过程、特点；2、热点提示（1）本考点在高考中每年都要涉及，主要以考查直接证明中的综合法为主；（2）反证法仅作为客观题的判断方法不会单独命题。三、数学归纳法1、考纲点击（1）了解数学归纳法的原理；（2）能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。2、热点提示（1）归纳——猜想——证明仍是高考重点；（2）与函数、数列、不等式等知识结合，在知识的交汇处命题是热点。【考纲知识梳理】一、合情推理与演绎推理注：归纳推理和类比推理的特点与区别：类比推理和归纳推理的结论都是有待于证明的。归纳推理是由特殊到一般

3、的推理，类比推理是由特殊到特殊的推理。二、直接证明与间接证明1、直接证明注：分析法的特点是：从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”，其逐步推理，实际上寻求它的充分条件；综合法的特点是：从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，其逐步推理，实际上是寻找它的必要条件。分析法与综合法各有其特点，有些具体的待证命题，用分析法或综合法均能证明出来，往往选择较简单的一种。2、间接证明反证法：假设原命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫反证法。三、数学归纳法数学归

4、纳证题的步骤：（1）证明当n取第一值时命题成立：（2）假设n=k(k≥,k∈)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从开始的所有正整数n都成立。注：1、第一个值是否一定为1呢？不一定，要看题目中n的要求，如当n≥3时，则第一个值应该为3。2、数学归纳法两个步骤有何关系？数学归纳法中两个步骤体现了递推思想，第一步是递推基础，也叫归纳奠基，第二步是递推的依据，也叫归纳递推。两者缺一不可。【热点难点精析】一、合情推理与演绎推理（一）归纳推理※相关链接※1、归纳推理的特点：（1）归纳是依据特殊现象推断出一般现

5、象，因而由归纳所得的结论超越了前提所包含的范围；（2）归纳的前提是特殊的情况，所以归纳是立足于观察、经验或试验的基础之上的。2、归纳推理的一般步骤：（1）通过观察个别情况发现某些相同本质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题。注：归纳推理所得结论未必正确，有待进一步证明。※例题解析※〖例〗设，先分别求，然后归纳猜想一般性结论，并给出证明。思路解析：由f(x)计算各和式得出结论归纳猜想证明解答：，同理可得：。证明：设（二）类比推理※相关链接※1、类比推理是由特殊到特殊的推理，其一般步骤是：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性

6、；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）。2、类比是科学研究最普遍的方法之一。在数学中，类比是发现概念、方法、定理和公式的重要手段，也是开拓新领域和创造新分支的重要手段。类比在数学中应用广泛。数与式、平面与空间、一元与多元、低次与高次、相等与不等、有限与无限之间有不少结论，都是先用类比法猜想，而后加以证明的。注：类比推理推得的结论不一定正确，其正确性，有待进一步证明。※例题解析※〖例1〗请用类比推理完成下表：平面空间三角形两边之和大于第三边三棱锥任意三个面的面积之和大于第四个面的面积三角形的面积等于任意一边

7、的长度与这边上高的乘积的一半三棱锥的体积等于任意一个面的面积与该面上的高的乘积的三分之一三角形的面积等于其内切圆半径与三角形周长的乘积的一半思路点拨：由表格一、二两个问题的类比可知，线对面，长度对面积，从而内切圆应相对内切球，从而可解。解答：本题由已知前两组类比可得到如下信息：①平面中的三角形与空间中的三棱锥是类比对象；②三角形各边的边长与三棱锥的各面的面积是类比对象；③三角形边上的高与三棱锥面上的高是类比对象；④三角形的面积与三棱锥的体积是类比对象；⑤三角形的面积公式中的“二分之一”，与三棱锥的体积公式中的“三分之一”是类比对象。由以上分

8、析可知：故第三行空格应填：三棱锥的体积等于其内切球半径与三棱锥表面积的乘积的三分之一。（本题结论可用等体积法，将三棱锥分割成四个小三棱锥去证明，此处略）〖例2〗平面内的一个四边形