高三数学复习：推理与证明

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1、高三数学复习：推理与证明第一节　合情推理与演绎推理8一、选择题1．在古希腊毕达哥拉斯学派把1,3,6,10,15,21,28，……这些数叫做三角形数，因为这些数对应的点可以排成一个正三角形(如下图所示)则第n个三角形数为(　　)A．n　　　　　　　　　　B.n(n＋1)C．n2－1D.n(n－1)2.凸n边形有f(n)条对角线，则凸n＋1边形有f(n＋1)条对角线数为(　　)A．f(n)＋n－1B．f(n)＋nC．f(n)＋n＋1D．f(n)＋n－23．设f0(x)＝cosx,f1(x)＝f0′(x)，f2(x)＝f1′

2、(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈N*，则f2011(x)＝(　　)A．－sinxB．－cosxC．sinxD．cosx4．给出下面类比推理命题(其中R为实数集，C为复数集)：①“若a，b∈R，则a－b＝0⇒a＝b”类比推出“若a，b∈C，则a－b＝0⇒a＝b”；②“若a，b，c，d∈R，则复数a＋bi＝c＋di⇒a＝c，b＝d”类比推出“若a，b，c，d∈C，则复数a＋bi＝c＋di⇒a＝c，b＝d”；③“若a，b∈R，则a－b>0⇒a>b”类比推出“若a，b∈C，则a－b>0⇒a>b”；④“若a，b∈R，

3、则a·b＝0⇒a＝0或b＝0”．类比推出“若a，b∈C，则a·b＝0⇒a＝0或b＝0”．其中类比结论正确的个数是(　　)A．0B．1C．2D．35．如下图所示，面积为S的平面凸四边形的第i条边的边长记为ai（i=1,2,3,4），此四边形内任一点P到第i边的距离记为hi，若＝k，则(ihi)＝.类比以上性质，体积为V的三棱锥的第i个面的面积记为Si，此三棱锥内任一点Q到第i个面的距离记为Hi，若＝k，则(iHi)＝(　　)A.　　　　B.C.　　　　D.二、填空题86．有穷数列{an}，Sn为其前n项和，定义为数列{an

4、}的“凯森和”，如果有99项的数列a1、a2、a3、…a99的“凯森和”为1000，则有100项的数列1、a1、a2、a3、a4、…a99的“凯森和”T100＝________.7．在等比数列{an}中，若a10＝0，则有等式a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a19－n(n<19，n∈N*)成立．类比上述性质，相应地，在等比数列{bn}中，若b9＝1，则等式成立．8．设P是△ABC内一点，△ABC三边上的高分别为hA、hB、hC，P到三边的距离依次为la、lb、lc，则有＝______；类比到空间，设P是四面体ABC

5、D内一点，四顶点到对面的距离分别是hA、hB、hC、hD，P到这四个面的距离依次是la、lb、lc、ld，则有________．三、解答题9．由下列各式：1>，1＋＋>1,1＋＋＋＋＋＋>，1＋＋＋……＋>2，你能得出怎样的结论，并进行证明．10.(2009年湖南卷)将正△ABC分割成n2(n≥2，n∈N)个全等的小正三角形(图乙，图丙分别给出了n＝2,3的情形)，在每个三角形的顶点各放置一个数，使位于△ABC的三边及平行于某边的任一直线上的数(当数的个数不少于3时)都分别成等差数列，若顶点A，B，C处的三个数互不相同且

6、和为1，记所有顶点上的数之和为f(n)，则有f(2)＝2，求f(3)和f(n)．8参考答案1．B　2.A　3.C　4.C　5.B　6.9917．解析：由题设可知，如果am＝0，则有a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a2m－1－n(n<2m－1，n∈N＋)成立，如果m＋n＝p＋q，其中m，n，p，q是正整数，对于等差数列，则有am＋an＝ap＋aq；而对于等比数列，则bmbn＝bpbq，所以可以得结论：若bm＝1，则有等式b1b2…bn＝b1b2…b2m－1－n(n<2m－1，n∈N＋)成立．在本题中m＝9.答案：b1

7、b2…bn＝b1b2…b17－n(n<17，n∈N＋)8．1　9．提示：可得到如下结论1＋＋＋…＋>，证明略．10．解析：当n＝3时，如题图所示分别设各顶点的数用小写字母表示，即由条件知a＋b＋c＝1，x1＋x2＝a＋b，y1＋y2＝b＋c，z1＋z2＝c＋a.x1＋x2＋y1＋y2＋z1＋z2＝2(a＋b＋c)＝2，2g＝x1＋y2＝x2＋z1＝y1＋z2.6g＝x1＋x2＋y1＋y2＋z1＋z2＝2(a＋b＋c)＝2.即g＝而f(3)＝a＋b＋c＋x1＋x2＋y1＋y2＋z1＋z2＋g＝1＋2＋＝.进一步可求得f(4

8、)＝5.由上知f(1)中有三个数，f(2)中有6个数，f(3)中共有10个数相加，f(4)中有15个数相加…，若f(n－1)中有an－1(n＞1)个数相加，可得f(n)中有(an－1＋n＋1)个数相加，且由f(1)＝1＝，f(2)＝＝＝f(1)＋，f(3)＝＝f(2)＋，f(4)＝5＝f(3)＋，…可得f(n)＝f(