二次函数解析式的几种求法

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时间:2018-11-20

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1、二次函数的三种解析式及求法一、二次函数常用的三种解析式的确定已知抛物线上三点的坐标,通常选择一般式。已知抛物线上顶点坐标(对称轴或最值),通常选择顶点式。已知抛物线与x轴的交点坐标或对称轴,选择交点式。1、一般式2、顶点式3、交点式y=ax2+bx+cy=a(x-h)2+ky=a(x-x1)(x-x2)二、求二次函数解析式的思想方法1、求二次函数解析式的常用方法:2、求二次函数解析式的常用思想:3、二次函数解析式的最终形式:待定系数法、配方法、数形结合等。转化思想解方程或方程组无论采用哪一种解析式求解,最后结果都化为一般式。例1.已知二次函数的图象经过点A(0

2、,-1)、B(1,0)、C(-1,2);求它的关系式.分析:根据二次函数的图象经过三个已知点,可设函数关系式为y=ax2+bx+c的形式例1.已知二次函数的图象经过点A(0,-1)、B(1,0)、C(-1,2);求它的关系式.解:设二次函数关系式y=ax2+bx+c,由已知,这个函数的图象过(0,-1),可以得到c=-1.又由于其图象过点(1,0)、(-1,2)两点,可以得到解这个方程组,得a=2,b=-1.所以,所求二次函数的关系式是y=2x2-x-1a+b=1a-b=3{例2.已知抛物线的顶点为(1,-3),且与y轴交于点(0,1),求这个二次函数的解析式

3、.分析:根据已知抛物线的顶点坐标,可设函数关系式为y=a(x-1)2-3,再根据抛物线与y轴的交点可求出a的值;例2.已知抛物线的顶点为(1,-3),且与y轴交于点(0,1),求这个二次函数的解析式解:因为抛物线的顶点为(1,-3),所以设二此函数的关系式为y=a(x-1)2-3,又由于抛物线与y轴交于点(0,1),可以得到1=a(0-1)2-3解得a=4所以,所求二次函数的关系式是y=4(x-1)2-3.即y=4x2-8x+1例3.已知抛物线的顶点为(3,-2),且与x轴两交点间的距离为4,求它的解析式.分析:根据已知抛物线的顶点坐标(3,-2),可设函数关

4、系式为y=a(x-3)2-2,同时可知抛物线的对称轴为x=3,再由与x轴两交点间的距离为4,可得抛物线与x轴的两个交点为(1,0)和(5,0),任选一个代入y=a(x-3)2-2,即可求出a的值.例4.已知抛物线与x轴交于点M(-3,0)、N(5,0),且与y轴交于点P(0,-3).求它的解析式方法1:因为已知抛物线上三个点,所以可设函数关系式为一般式y=ax2+bx+c,把三个点的坐标代入后求出a、b、c,就可得抛物线的解析式。方法2:根据抛物线与x轴的两个交点的坐标,可设函数关系式为y=a(x+3)(x-5),再根据抛物线与y轴的交点可求出a的值;分析:1

5、.根据下列条件,分别求出对应的二次函数的关系式.(1)已知二次函数的图象经过点(0,2)、(1,1)、(3,5);(2)已知抛物线的顶点为(-1,2),且过点(2,1);(3)已知抛物线与x轴交于点(-1,0)、(2,0),且经过点(1,2).2.二次函数图象的对称轴是x=-1,与y轴交点的纵坐标是–6,且经过点(2,10),求此二次函数的关系式.课堂练习:例1、已知二次函数的图像如图所示,求其解析式。解法一:一般式设解析式为∵顶点C(1,4),∴对称轴x=1.∵A(-1,0)关于x=1对称,∴B(3,0)。∵A(-1,0)、B(3,0)和C(1,4)在抛物线

6、上,∴即:三、应用举例例1、已知二次函数的图像如图所示,求其解析式。解法二:顶点式设解析式为∵顶点C(1,4)∴又∵A(-1,0)在抛物线上,∴∴a=-1即:∴∴h=1,k=4.三、应用举例解法三:交点式设解析式为∵抛物线与x轴的两个交点坐标为A(-1,0)、B(3,0)∴y=a(x+1)(x-3)又C(1,4)在抛物线上∴4=a(1+1)(1-3)∴a=-1∴y=-(x+1)(x-3)即:例1、已知二次函数的图像如图所示,求其解析式。三、应用举例

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