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时间:2018-11-20
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1、探索多边形的内角和与外角和 一、内容综述: 多边形(n边形):由n条不在同一直线上的线段首尾顺次连接组成的平面图形。 凸多边形:如果沿着多边形任何一条边作直线,多边形均在直线的同侧。 凹多边型:多边形存在若干这样的边,如果沿着这条边作直线,多边形在直线的两侧。 正多边形:多边形的各边都相等且各角都相等。 对角线:连接多边形不相邻的两个顶点的线段。 n边形的内角和=(n-2)·180°。 任意多边形的外角和都为360°(外角和是指:每个顶点取且只取一个外角)。 注意:(1)多边形的内角和仅
2、与边数有关,与多边形的大小、形状无关; (2)凸多边形的内角α的范围:0°<α<180°。 二、例题分析: 例1、(1)22边形的内角和是多少度?若它的每一个内角都相等,那么它的每个外角度数是多少? (2)几边形的内角和是八边形内角和的2倍? (3)几边形的内角和是2160°?是否存在一个多边形内角和为1000°? (4)已知一个多边形,它的内角和等于外角和的2倍,求边数. 分析:以上基础知识的掌握是解决下列问题的关键,通常利用方程的思想解决。 解:(1)(22-2)×180°=36
3、00° 3600°÷22=()° 180°-()°=()° (2)设n边形的内角和是八边形内角和的2倍 则(n-2)×180°=2×(8-2)×180° n=14 (3)设n边形的内角和是2160° 则(n-2)×180°=2160° n=14 设n边形内角和为1000°,则(n-2)×180°=1000° 因为n不是整数,不符合题意。 所以假设不成立,故不存在一个多边形内角和为1000° (4)因为一个多边形内角和等于外角和的2倍,所以:设边数为n。 根据题意得:(n-
4、2)×180°=2×360°, n=6 例2、(1)已知多边形的每个内角都是135°,求这个多边形的边数; (2)每个外角都相等的多边形,如果它的一个内角等于一个外角的9倍,求这个多边形的边数 分析:利用每一个内角和它的外角互补的关系 解:(1)因为多边形的每个内角都是135°, 所以它的每一个外角都是45°, 360°÷45°=8,这个多边形是8边形。 (2)因为每个外角都相等,则每一个内角也都相等。 设外角为x则内角为9x,因为每一个内角与它的外角互为邻补角, 所以:x+9x=18
5、0° x=18° 因为多边形的外角和为360°, 所以360°÷18°=20,此多边形为20边形。 例3、(1)某多边形除一个内角α外,其余内角的和是2750°.求这个多边形的边数. (2)已知n边形恰有四个内角是钝角.这种多边形共有多少个?其中边数最少的是几边形?边数最多的是几边形? 解:(1)因为凸多边形的每一个内角α的范围是:0°<α<180°, 所以设这个多边形的边数为n, 2750°+0°<(n-2)×180°<2750°+180° 因为n为整数,所以n=18。 (2)解
6、:因为n边形恰有四个内角是钝角,所以n边形恰有四个外角是锐角, 由于n边形个外角和是360°,所以外角中最多有3个钝角, ①若n边形恰有四个外角是锐角和一个钝角,则是五边形; ②若n边形恰有四个外角是锐角和两个钝角,则是六边形; ③若n边形恰有四个外角是锐角和三个钝角,则是七边形; 其中边数最少的是五边形;边数最多的是七边形 例4、已知:四边形ABCD中(如图),∠A与∠B互补,∠C=90°,DE⊥AB,E为垂足.若∠EDC=60°,求∠B、∠A及∠ADE的度数. 解:因为,∠A+∠B=180
7、°,所以AD∥BC 所以∠C+∠ADC=180°, 因为∠C=90°,所以∠ADC=90° 又因为∠EDC=60°,所以∠ADE=30° 因为DE⊥AB,所以∠AED=90° 在△ADE中∠ADE=30°,∠AED=90°,所以∠A=60° 因为,∠A+∠B=180°,所以∠B=120° 例5、已知多边形内角和与某一个外角之和为1350°,求这多边形的边数. 解:因为凸多边形的每一个外角α的范围也是:0°<α<180° 所以设这个多边形的边数为n, 1350°-180°<(n-2)×1
8、80°<1350°-0° 因为n为整数,所以n=9。 答:这多边形的边数为9。 例6、如果多边形的每个内角都比它相邻的外角的4倍还多30°,求这个多边形的内角和及对角线的总条数. 解:解:设外角为x则内角为(4x+30°) 因为每一个内角与它的外角互为邻补角 所以:x+(4x+30°)=180° x=30° 因为多边形的外角和为360°,所以360°÷30°=12 这个多边形的内角和为(12-2)×18
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