探索多边形的内角和与外角和

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时间:2018-11-20

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1、探索多边形的内角和与外角和  一、内容综述:  多边形(n边形):由n条不在同一直线上的线段首尾顺次连接组成的平面图形。  凸多边形:如果沿着多边形任何一条边作直线,多边形均在直线的同侧。  凹多边型:多边形存在若干这样的边,如果沿着这条边作直线,多边形在直线的两侧。  正多边形:多边形的各边都相等且各角都相等。  对角线:连接多边形不相邻的两个顶点的线段。  n边形的内角和=(n-2)·180°。  任意多边形的外角和都为360°(外角和是指:每个顶点取且只取一个外角)。  注意:(1)多边形的内角和仅

2、与边数有关,与多边形的大小、形状无关;     (2)凸多边形的内角α的范围:0°<α<180°。  二、例题分析:  例1、(1)22边形的内角和是多少度?若它的每一个内角都相等,那么它的每个外角度数是多少?  (2)几边形的内角和是八边形内角和的2倍?  (3)几边形的内角和是2160°?是否存在一个多边形内角和为1000°?  (4)已知一个多边形,它的内角和等于外角和的2倍,求边数.  分析:以上基础知识的掌握是解决下列问题的关键,通常利用方程的思想解决。  解:(1)(22-2)×180°=36

3、00°  3600°÷22=()°  180°-()°=()°  (2)设n边形的内角和是八边形内角和的2倍  则(n-2)×180°=2×(8-2)×180°    n=14  (3)设n边形的内角和是2160°  则(n-2)×180°=2160°    n=14  设n边形内角和为1000°,则(n-2)×180°=1000°  因为n不是整数,不符合题意。  所以假设不成立,故不存在一个多边形内角和为1000°  (4)因为一个多边形内角和等于外角和的2倍,所以:设边数为n。  根据题意得:(n-

4、2)×180°=2×360°, n=6   例2、(1)已知多边形的每个内角都是135°,求这个多边形的边数;  (2)每个外角都相等的多边形,如果它的一个内角等于一个外角的9倍,求这个多边形的边数  分析:利用每一个内角和它的外角互补的关系  解:(1)因为多边形的每个内角都是135°,  所以它的每一个外角都是45°,  360°÷45°=8,这个多边形是8边形。  (2)因为每个外角都相等,则每一个内角也都相等。  设外角为x则内角为9x,因为每一个内角与它的外角互为邻补角,  所以:x+9x=18

5、0°    x=18°  因为多边形的外角和为360°,  所以360°÷18°=20,此多边形为20边形。  例3、(1)某多边形除一个内角α外,其余内角的和是2750°.求这个多边形的边数.  (2)已知n边形恰有四个内角是钝角.这种多边形共有多少个?其中边数最少的是几边形?边数最多的是几边形?  解:(1)因为凸多边形的每一个内角α的范围是:0°<α<180°,  所以设这个多边形的边数为n,  2750°+0°<(n-2)×180°<2750°+180°  因为n为整数,所以n=18。  (2)解

6、:因为n边形恰有四个内角是钝角,所以n边形恰有四个外角是锐角,  由于n边形个外角和是360°,所以外角中最多有3个钝角,  ①若n边形恰有四个外角是锐角和一个钝角,则是五边形; ②若n边形恰有四个外角是锐角和两个钝角,则是六边形;  ③若n边形恰有四个外角是锐角和三个钝角,则是七边形;  其中边数最少的是五边形;边数最多的是七边形 例4、已知:四边形ABCD中(如图),∠A与∠B互补,∠C=90°,DE⊥AB,E为垂足.若∠EDC=60°,求∠B、∠A及∠ADE的度数.   解:因为,∠A+∠B=180

7、°,所以AD∥BC  所以∠C+∠ADC=180°,  因为∠C=90°,所以∠ADC=90°  又因为∠EDC=60°,所以∠ADE=30°  因为DE⊥AB,所以∠AED=90°  在△ADE中∠ADE=30°,∠AED=90°,所以∠A=60°  因为,∠A+∠B=180°,所以∠B=120°  例5、已知多边形内角和与某一个外角之和为1350°,求这多边形的边数.  解:因为凸多边形的每一个外角α的范围也是:0°<α<180°  所以设这个多边形的边数为n,  1350°-180°<(n-2)×1

8、80°<1350°-0°  因为n为整数,所以n=9。  答:这多边形的边数为9。  例6、如果多边形的每个内角都比它相邻的外角的4倍还多30°,求这个多边形的内角和及对角线的总条数.  解:解:设外角为x则内角为(4x+30°)  因为每一个内角与它的外角互为邻补角  所以:x+(4x+30°)=180°     x=30°  因为多边形的外角和为360°,所以360°÷30°=12  这个多边形的内角和为(12-2)×18

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