高中立体几何(理科)高考题节选

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1、京华数理化名师指路更多进步高中数学立体几何精选1.（陕西理16）如图，在中，是上的高，沿把折起，使。（Ⅰ）证明：平面ＡＤＢ  ⊥平面ＢＤＣ；（Ⅱ）设Ｅ为ＢＣ的中点，求与夹角的余弦值。解（Ⅰ）∵折起前ＡＤ是ＢＣ边上的高，∴ 当Δ ＡＢＤ折起后，AD⊥ＤＣ，AD⊥ＤＢ，又DBＤＣ＝Ｄ，∴ＡＤ⊥平面ＢＤＣ，∵AD平面平面BDC．平面ABD平面BDC。（Ⅱ）由∠ ＢＤＣ＝及（Ⅰ）知DA，ＤＢ，DC两两垂直，不防设=1，以D为坐标原点，以所在直线轴建立如图所示的空间直角坐标系，易得D（0,0,0），B（1,0,0），C（0,3,0），A（0,0，），E（，，0），=，=（1，0,0,）

2、，与夹角的余弦值为·＜，＞=2、（辽宁理18）如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA=AB=PD．（I）证明：平面PQC⊥平面DCQ；（II）求二面角Q—BP—C的余弦值．电话：3802009地址：黄河大街黄河家苑京华数理化名师指路更多进步解：如图，以D为坐标原点，线段DA的长为单位长，射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系D—xyz.（I）依题意有Q（1，1，0），C（0，0，1），P（0，2，0）.则所以即PQ⊥DQ，PQ⊥DC.故PQ⊥平面DCQ.又PQ平面PQC，所以平面PQC⊥平面DCQ.…………6分（II）依题意有B（1，0，1），设

3、是平面PBC的法向量，则因此可取设m是平面PBQ的法向量，则可取故二面角Q—BP—C的余弦值为………………12分3、（全国新课标理18）如图，四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，，，底面ABCD．（I）证明：；（II）若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值．解：（Ⅰ）因为，由余弦定理得从而BD2+AD2=AB2，故BDAD又PD底面ABCD，可得BDPD所以BD平面PAD.故PABD（Ⅱ）如图，以D为坐标原点，AD的长为单位长，射线DA为轴的正半轴建立空间直角坐标系D-，则，，，．电话：3802009地址：黄河大街黄河家苑京华数理化名师指路更多进步设平面PAB的法向量为n

4、=（x，y，z），则即因此可取n=设平面PBC的法向量为m，则可取m=（0，-1，）故二面角A-PB-C的余弦值为4.（2009北京卷理）（本小题共14分）如图，在三棱锥中，底面，点，分别在棱上，且（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）当为的中点时，求与平面所成的角的大小；（Ⅲ）是否存在点使得二面角为直二面角？并说明理由.【解法1】本题主要考查直线和平面垂直、直线与平面所成的角、二面角等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力．（Ⅰ）∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥BC.又，∴AC⊥BC.∴BC⊥平面PAC.（Ⅱ）∵D为PB的中点，DE//BC，∴，又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC，∴

5、DE⊥平面PAC，垂足为点E.∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角，∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AB，又PA=AB，∴△ABP为等腰直角三角形，∴，∴在Rt△ABC中，，∴.∴在Rt△ADE中，，电话：3802009地址：黄河大街黄河家苑京华数理化名师指路更多进步（Ⅲ）∵DE//BC，又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC，∴DE⊥平面PAC，又∵AE平面PAC，PE平面PAC，∴DE⊥AE，DE⊥PE，∴∠AEP为二面角的平面角，∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AC，∴.∴在棱PC上存在一点E，使得AE⊥PC，这时，故存在点E使得二面角是直二面角.【解法2】如图，以A为原煤点建立空间直

6、角坐标系，设，由已知可得Z.（Ⅰ）∵，∴，∴BC⊥AP.YX又∵，∴BC⊥AC，∴BC⊥平面PAC.（Ⅱ）∵D为PB的中点，DE//BC，∴E为PC的中点，∴，∴又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC，∴∴DE⊥平面PAC，垂足为点E.∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角，∵，∴.∴与平面所成的角的大小.（Ⅲ）同解法1.17.（2009四川卷文）如图，在半径为3的球面上有三点，=90°，,球心O到平面的距离是，则两点的球面距离是A.B.C.D.2【答案】B电话：3802009地址：黄河大街黄河家苑京华数理化名师指路更多进步【解析】∵AC是小圆的直径。所以过球心O作小圆的垂线，垂足O’

7、是AC的中点。O’C＝，AC＝3，∴BC＝3，即BC＝OB＝OC。∴，则两点的球面距离＝30.（2009宁夏海南卷文）一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积（单位：）为（A）（B）（C）（D）【答案】A【解析】棱锥的直观图如右，则有PO＝4，OD＝3，由勾股定理，得PD＝5，AB＝6，全面积为：×6×6＋2××6×5＋×6×4＝48＋12，故选.A28.（2009陕西卷文）若正方体的棱长为，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为(A)(B)(C)(D)答案:B.解析:由题意知以正方体各个面的中