集合间的基本运算

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1、集合间的基本运算一、知识概述1、交集的定义　一般地，由所有属于A且属于B的元素所组成的集合，叫做A，B的交集．记作AB（读作‘A交B’），即AB=｛x

2、xA，且xB｝．2、并集的定义一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A，B的并集．记作：AB（读作‘A并B’），即AB={x

3、xA，或xB}．3、补集：一般地，设S是一个集合，A是S的一个子集（即），由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集（或余集），记作，即=．　　性质：.　　全集：如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集，全集

4、通常用S，U表示4、运算性质：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；．二、例题讲解例1、设集合A={－4，2m－1，m2}，B={9，m－5，1－m}，又AB={9}，求实数m的值．解：∵AB={9}，∴2m－1=9或m2=9，解得m=5或m=3或m=－3．若m=5，则A={－4，9，25}，B={9，0，－4}与AB={9}矛盾；若m=3，则B中元素m－5=1－m=－2，与B中元素互异矛盾；若m=－3，则A={－4，－7，9}，B={9，－8，4}满足AB={9}．∴m=－3．例2、设A={x

5、x2＋ax＋b=0}，B={x

6、x2＋cx＋

7、15=0}，又AB={3，5}，A∩B={3}，求实数a，b，c的值．解：　　∵A∩B={3}，∴3∈B，∴32＋3c＋15=0，　　∴c=－8，由方程x2－8x＋15=0解得x=3或x=5．　　∴B={3，5}．由A（AB）={3，5}知，3∈A，5A（否则5∈A∩B，与A∩B={3}矛盾）.　　故必有A={3}，∴方程x2＋ax＋b=0有两相同的根3．　　由韦达定理得3＋3=－a，33=b，即a=－6，b=9，c=－8．例3、已知A={x

8、x3＋3x2＋2x＞0}，B={x

9、x2＋ax＋b≤0}，且A∩B={x

10、0＜x≤2}，A∪B＝｛x｜x＞－

11、2｝，求a、b的值．解：A={x

12、－2＜x＜－1或x＞0}，设B=［x1，x2］，由A∩B=（0，2］知x2＝2，且－1≤x1≤0，①由A∪B=（－2，＋∞）知－2≤x1≤－1.　②由①②知x1＝－1，x2＝2，∴a＝－（x1＋x2）＝－1，b＝x1x2＝－2．例4、已知A={x

13、x2－ax＋a2－19=0}，B={x

14、x2－5x＋8=2}，C={x

15、x2＋2x－8=0}.若A∩B，且A∩C=，求a的值．解：∵B={x

16、(x－3)(x－2)=0}={3，2}，C={x

17、(x＋4)(x－2)=0}={－4，2}，又∵A∩B，∴A∩B≠．又∵A∩C=，∴

18、可知－4A，2A，3∈A．∴由9－3a＋a2－19=0，解得a=5或a=－2．①当a=5时，A={2，3}，此时A∩C={2}≠，矛盾，∴a≠5；②当a=－2时，A={－5，3}，此时A∩C=，A∩B={3}≠，符合条件．综上①②知a=－2．例5、已知全集U={不大于20的质数}，M，N是U的两个子集，且满足M∩（）={3，5}，（）∩N={7，19}，（）∩（）={2，17}，求M、N．解：　　用图示法表示集合U，M，N（如图），将符合条件的元素依次填入图中相应的区域内，由图可知： M={3，5，11，13}，N={7，11，13，19}.点评：　

19、　本题用填图的方法使问题轻松地解决，但要注意的是在填图时，应从已知区域填起，从已知区域推测未知区域的元素． 特别提示：下列四个区域：对应的集合分别是：①—；②—；③—；④—．　　一、选择题1、下列命题中，正确的是（　）A．若U=R，AU，；B．若U为全集，Φ表示空集，则Φ=Φ；C．若A={1，Φ，{2}}，则{2}A；D．若A={1，2，3}，B={x

20、xA}，则A∈B．2、设数集且M、N都是集合{x

21、0≤x≤1}的子集，如果把b－a叫做集合{x

22、a≤x≤b}的“长度”，那么集合M∩N的“长度”的最小值是（　）A．　　　　　　　　　　　B．C．　　　

23、　　　　　　　D．3、设M、N是两个非空集合，定义M与N的差集为M－N={x

24、x∈M且xN}，则M－（M－N）等于（　）A．N　　　　　　　　　　　B．M∩NC．M∪N　　　　　　　　　　D．M4、已知全集，集合M和的关系的韦恩（Venn）图如下图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有（　）A．3个　　　　　　　　　　B．2个C．1个　　　　　　　　　　D．无穷个　　1、Φ=U，{2}∈A，{2}单独看是一个集合，但它又是A中的一个元素．　　2、集合M的“长度”为，集合N的“长度”为，而集合{x

25、0≤x≤1}的“长度”为1，故M∩N的“长度”最小值为　

26、　3、M－N={x

27、x∈M且xN}是指图（1）中的阴影部分．　　同样M－（M－N）是指图（2）中的阴影部分．