13、直线和圆的方程的应用(提高)

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1、直线与圆的方程的应用(提高)学习目标　　1．能利用直线与圆的方程解决有关的几何问题；　　2．能利用直线与圆的方程解决有关的实际问题；　　3．进一步体会、感悟坐标法在解决有关问题时的作用．要点梳理要点一、用直线与圆的方程解决实际问题的步骤　　1．从实际问题中提炼几何图形；　　2．建立直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面问题转化为代数问题；　　3．通过代数运算，解决代数问题；　　4．将结果“翻译”成几何结论并作答．要点二、用坐标方法解决几何问题的“三步曲”　　用坐标法解决几何问题时，先用坐标和方

2、程表示相应的几何元素：点、直线、圆；然后对坐标和方程进行代数运算；最后再把代数运算结果“翻译”成相应的几何结论.这就是用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”.　　第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；　　第二步：通过代数运算，解决代数问题；　　第三步：把代数运算结果“翻译”成几何结论.　　要点诠释：　　坐标法的实质就是借助于点的坐标，运用解析工具(即有关公式)将平面图形的若干性质翻译成若干数量关系.在这里，代数是工具、是方法，这是笛卡儿解析几何的

3、精髓所在.要点三、用坐标法解决几何问题时应注意以下几点　　1．建立直角坐标系时不能随便，应在利于解题的原则下建立适当的直角坐标系；　　2．在实际问题中，有些量具有一定的条件，转化成代数问题时要注意范围；　　3．最后要把代数结果转化成几何结论．典型例题类型一：直线与圆的方程的实际应用　　1．有一种大型商品，A、B两地均有出售且价格相同，某地居民从两地之一购得商品运回来，每公里的运费A地是B地的两倍，若A、B两地相距10公里，顾客选择A地或B地购买这种商品的运费和价格的总费用较低，那么不同地点的居民应如何选择购

4、买此商品的地点？【答案】　　圆C内的居民应在A地购物．同理可推得圆C外的居民应在B地购物．圆C上的居民可随意选择A、B两地之一购物．　　【解析】　　以直线AB为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，如下图所示．设A（―5，0），则B（5，0）．在坐标平面内任取一点P（x，y），设从A地运货到P地的运费为2a元／km，则从B地运货到P地的运费为a元／km．　　若P地居民选择在A地购买此商品，　　则，　　整理得．　　即点P在圆的内部．　　也就是说，圆C内的居民应在A地购物．　　同理可推得圆C外的居民

5、应在B地购物．　　圆C上的居民可随意选择A、B两地之一购物．　　【总结升华】 　　利用直线与圆的方程解决实际问题的程序是：（1）认真审题，明确题意；（2）建立直角坐标系，用坐标表示点，用方程表示曲线，从而在实际问题中建立直线与圆的方程的模型；（3）利用直线与圆的方程的有关知识求解问题；（4）把代数结果还原为对实际问题的解释．　　在实际问题中，遇到直线与圆的问题，利用坐标法比用平面几何及纯三角的方法解决有时要简捷些，其关键在于建立适当的直角坐标系．建立适当的直角坐标系应遵循三点：（1）若曲线是轴对称图形，则可

6、选它的对称轴为坐标轴；（2）常选特殊点作为直角坐标系的原点；（3）尽量使已知点位于坐标轴上．建立适当的直角坐标系，会简化运算过程．要想学会建立适当的直角坐标系，必须靠平时经验的积累．【变式1】如图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图.该圆拱跨度AB=20m，拱高OP=4m，在建造时每隔4m需要用一个支柱支撑，求支柱的长度（精确到0.01m）.　　　　　　　　　　　　　　　【答案】3.86m　　【解析】　　建立坐标系如图所示.圆心的坐标是(0，ｂ)，圆的半径是ｒ，那么圆的方程是：　　因为P(0,4)、B(10,0)都

7、在圆上，所以　　　　解得，.所以圆的方程为　　把代入圆的方程得，所以,即支柱的高度约为3.86m.【变式2】某市气象台测得今年第三号台风中心在其正东300km处，以40km/h的速度向西偏北30°方向移动.据测定，距台风中心250km的圆形区域内部都将受到台风影响，请你推算该市受台风影响的起始时间与持续时间.(精确到分钟)【答案】90分钟　10h　　【解析】　　利用坐标法来求解.如图，不妨先建立直角坐标系xOy，其中圆A的半径为250km，过B(300，0)作倾斜角为150°的直线交圆于点C、D，则该市受台

8、风影响的起始与终结时间分别为C开始至D结束，然后利用圆的有关知识进行求解.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　以该市所在位置A为原点，正东方向为x轴的正方向建立直角坐标系，开始时台风中心在B(300，0)处，台风中心沿倾斜角为150°方向的直线移动，其轨迹方程为y=(x-300)(x≤300).　　该市受台风影响时，台风中心在圆x2+y2=2502内，设射线与圆交于C、D，则CA=AD=250，∴台风中心到达