13、直线和圆的方程的应用(提高)

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1、直线与圆的方程的应用(提高)学习目标  1.能利用直线与圆的方程解决有关的几何问题;  2.能利用直线与圆的方程解决有关的实际问题;  3.进一步体会、感悟坐标法在解决有关问题时的作用.要点梳理要点一、用直线与圆的方程解决实际问题的步骤  1.从实际问题中提炼几何图形;  2.建立直角坐标系,用坐标和方程表示问题中的几何元素,将平面问题转化为代数问题;  3.通过代数运算,解决代数问题;  4.将结果“翻译”成几何结论并作答.要点二、用坐标方法解决几何问题的“三步曲”  用坐标法解决几何问题时,先用坐标和方

2、程表示相应的几何元素:点、直线、圆;然后对坐标和方程进行代数运算;最后再把代数运算结果“翻译”成相应的几何结论.这就是用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”.  第一步:建立适当的平面直角坐标系,用坐标和方程表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为代数问题;  第二步:通过代数运算,解决代数问题;  第三步:把代数运算结果“翻译”成几何结论.  要点诠释:  坐标法的实质就是借助于点的坐标,运用解析工具(即有关公式)将平面图形的若干性质翻译成若干数量关系.在这里,代数是工具、是方法,这是笛卡儿解析几何的

3、精髓所在.要点三、用坐标法解决几何问题时应注意以下几点  1.建立直角坐标系时不能随便,应在利于解题的原则下建立适当的直角坐标系;  2.在实际问题中,有些量具有一定的条件,转化成代数问题时要注意范围;  3.最后要把代数结果转化成几何结论.典型例题类型一:直线与圆的方程的实际应用  1.有一种大型商品,A、B两地均有出售且价格相同,某地居民从两地之一购得商品运回来,每公里的运费A地是B地的两倍,若A、B两地相距10公里,顾客选择A地或B地购买这种商品的运费和价格的总费用较低,那么不同地点的居民应如何选择购

4、买此商品的地点?【答案】  圆C内的居民应在A地购物.同理可推得圆C外的居民应在B地购物.圆C上的居民可随意选择A、B两地之一购物.  【解析】  以直线AB为x轴,线段AB的垂直平分线为y轴,建立直角坐标系,如下图所示.设A(―5,0),则B(5,0).在坐标平面内任取一点P(x,y),设从A地运货到P地的运费为2a元/km,则从B地运货到P地的运费为a元/km.  若P地居民选择在A地购买此商品,  则,  整理得.  即点P在圆的内部.  也就是说,圆C内的居民应在A地购物.  同理可推得圆C外的居民

5、应在B地购物.  圆C上的居民可随意选择A、B两地之一购物.  【总结升华】   利用直线与圆的方程解决实际问题的程序是:(1)认真审题,明确题意;(2)建立直角坐标系,用坐标表示点,用方程表示曲线,从而在实际问题中建立直线与圆的方程的模型;(3)利用直线与圆的方程的有关知识求解问题;(4)把代数结果还原为对实际问题的解释.  在实际问题中,遇到直线与圆的问题,利用坐标法比用平面几何及纯三角的方法解决有时要简捷些,其关键在于建立适当的直角坐标系.建立适当的直角坐标系应遵循三点:(1)若曲线是轴对称图形,则可

6、选它的对称轴为坐标轴;(2)常选特殊点作为直角坐标系的原点;(3)尽量使已知点位于坐标轴上.建立适当的直角坐标系,会简化运算过程.要想学会建立适当的直角坐标系,必须靠平时经验的积累.【变式1】如图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图.该圆拱跨度AB=20m,拱高OP=4m,在建造时每隔4m需要用一个支柱支撑,求支柱的长度(精确到0.01m).               【答案】3.86m  【解析】  建立坐标系如图所示.圆心的坐标是(0,b),圆的半径是r,那么圆的方程是:  因为P(0,4)、B(10,0)都

7、在圆上,所以    解得,.所以圆的方程为  把代入圆的方程得,所以,即支柱的高度约为3.86m.【变式2】某市气象台测得今年第三号台风中心在其正东300km处,以40km/h的速度向西偏北30°方向移动.据测定,距台风中心250km的圆形区域内部都将受到台风影响,请你推算该市受台风影响的起始时间与持续时间.(精确到分钟)【答案】90分钟 10h  【解析】  利用坐标法来求解.如图,不妨先建立直角坐标系xOy,其中圆A的半径为250km,过B(300,0)作倾斜角为150°的直线交圆于点C、D,则该市受台

8、风影响的起始与终结时间分别为C开始至D结束,然后利用圆的有关知识进行求解.                    以该市所在位置A为原点,正东方向为x轴的正方向建立直角坐标系,开始时台风中心在B(300,0)处,台风中心沿倾斜角为150°方向的直线移动,其轨迹方程为y=(x-300)(x≤300).  该市受台风影响时,台风中心在圆x2+y2=2502内,设射线与圆交于C、D,则CA=AD=250,∴台风中心到达

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