系统稳定性及其李雅普诺夫稳定

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1、第四章系统稳定性及其李雅普诺夫稳定4－1稳定性一般概念对于一个实际的控制系统，其工作的稳定性无疑是一个极其重要的问题，因为一个不稳定的系统在实际应用中是很难有效地发挥作用的。从直观上看，系统的稳定性就是一个处于稳态的系统，在某一干扰信号的作用下，其状态偏离了原有平衡位置，如果该系统是稳定的，那么当干扰取消后有限的时间内，系统会在自身作用下回到平衡状态；反之若系统不稳定，则系统永远不会回到原来的平衡位置。系统的稳定一般有外部稳定和内部稳定两种。外部稳定又称作输出稳定，也就是当系统在干扰取消后，在一定时间内，其输出会恢复到原来的稳态输出。

2、输出稳定有时描述为系统的BIBO稳定，即有限的系统输入只能产生有限的系统输出。系统内部稳定主要针对系统内部状态，反映的是系统内部状态受干扰信号的影响。当扰动信号取消后，系统的内部状态会在一定时间内恢复到原来的平衡状态，则称系统状态稳定。在经典控制论中，研究对象都是用高阶微分方程或传递函数描述的单输入单输出（SISO）系统，反映的仅是输入输出的关系，不会涉及系统内部的状态。因此经典控制论中只讨论系统的输出稳定问题。系统的稳定性是系统本身的特性，与系统的外部输入（控制）无关。在经典控制论中，我们通过研究线性定常系统的特征根的情况来判断系统

3、的输出稳定性：如果系统的特征根都有负的实部（即都在复平面的左部），则系统输出稳定。对于n阶线性连续系统，其特征方程为：　…………………………（4－1）当n≥4时，要求出其所有特征根是非常困难的，从而要想通过解出高阶系统的特征根来判别系统稳定性也是不现实的。所以1877年劳斯（Routh）和1895年霍尔维茨（Hurwitz）分别提出了有名的劳斯－霍尔维茨稳定判据，它可以通过线性定常系统特征方程的系数的简单代数运算来判别系统输出稳定性，而不必求出各个特征根。有关Routh-Hurwitz判据的详细内容请参阅有关经典控制论教材。当系统不是

4、线性定常系统时，或者对于系统内部状态稳定问题，经典控制论中的方法就不好解决了，这就需要下面介绍的李雅普诺夫（Lyapunov）稳定性的理论。4－2李雅普诺夫稳定性定义4－2－1系统的平衡状态设控制系统的齐次状态方程为：…………………………………………………（4－2）其中，X(t)为系统的n维状态向量，f是有关状态向量X以及显式时间t的n维矢量函数，f不一定是线性定常的。如果对于所有t，状态Xe总满足：……………………………………………………………………………………(4－3)则我们称Xe为系统的平衡状态。对于一般控制系统，它可能没有，也

5、可能有一个或多个平衡状态。如果系统是一个线性定常系统，即：那么当A为非奇异时，Xe=0是系统的唯一平衡状态；当A为奇异矩阵时，AX=0有无数解，也就是系统有无数个平衡状态。系统的状态稳定性是针对系统的平衡状态的，当系统有多个平衡状态时，需要对每个平衡状态分别进行讨论。对系统矩阵A非奇异的线性定常系统，Xe=0是系统的唯一平衡状态，所以对线性定常（LTI）系统，我们一般笼统用Xe的稳定性代表系统稳定性。　4－2－2李雅普诺夫稳定假设（4－2）所示一般控制系统的解为：　………………………………………………………………(4－4)它是与初始时

6、间t0及其初始状态X0有关的，体现系统状态从（t0，X0）出发的一条状态轨迹。设Xe为系统的一个平衡点，如果给定一个以Xe为球心，以ε为半径的n维球域S(ε)，总能找到一个同样以Xe为球心，δ（ε，t0）为半径的n维球域S(δ)，使得从S(δ)球域出发的任意一条系统状态轨迹φ(t；X0，t0)在t≥t0的所有时间内，都不会跑出S(ε)球域，则称系统的平衡状态Xe是李雅普诺夫稳定的(LyapunovStability)。一般来说，δ的大小不但与ε有关，而且与系统的初始时间t0有关。当δ仅与ε有关时，称Xe是一致稳定的平衡状态。进一步的，

7、如果Xe不仅是李雅普诺夫稳定的平衡状态，而且当时间t无限增加时，从S(δ)球域出发的任一条状态轨迹φ(t；X0，t0)都最终收敛于球心平衡点Xe，那么称Xe是渐进稳定的(AsymptoticStability)。更进一步，如果从S(∞),即整个系统状态空间的任一点出发的任一条状态轨迹φ(t；X0，t0)，当t→∞时，都收敛到平衡点Xe，那么称Xe是大范围渐进稳定的。很明显，这时的Xe是系统的唯一的平衡点。反之，对于给定S(ε)，不论δ>0取得多么小，从S(δ)球域出发的状态轨迹φ(t；X0，t0)，至少有一条跑出S(ε)球域，那么称平

8、衡点Xe4－3李雅普诺夫第一法（间接法）李雅普诺夫第一法通过分析系统微分方程的显式解来分析系统的稳定性，对线性定常系统，它可以直接通过系统的特征根情况来分析。李雅普诺夫第一法的基本思路与经典控制论中的稳定性判别思路基本一