函数的学习困难与课程设计

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1、函数的学习困难与课程设计摘要：函数作为中学数学的核心内容之一，历来是中学生感到难学的内容。函数学习困难的因素主要有三个方面：函数本身的复杂性；中学生思维发展水平；初、高中函数衔接问题。《课程标准》对函数的教学建议中，提出直接由对应通过具体实例引入（不必先讲映射），这种淡化形式的处理方法，提供了整体改革函数课程设计的契机。建议函数课程设计：1.将函数思想贯穿于课程体系之中；2.注意函数课程设计的一致性与侧重性；3.加强函数与相关学科以及实际生活的联系；4.重视计算机（器）等现代教育技术的作用。关键词：函数；学习困难；课程设计；淡化形式；函数思想自20世纪

2、初，数学教育改革运动提出“以函数为纲”的口号以来，函数一直都被确立为数学教学的核心。这不仅因为它是整个数学体系的重要基础，而且因为函数思想方法已成为现代数学的主要思想方法之一，对数学课程的设计可以起到统领的作用。然而，函数历来也是中学生感到最难学的内容，若干研究和教学实践表明函数的学习困难甚至伴随了许多中学生的整个数学学习过程。本文就中学生函数的学习困难作出分析，并提出函数的课程设计建议。一、函数的学习困难分析在我国面向21世纪的基础教育课程改革中，数学课程的设计凸显了“函数”这一主线，并采用了螺旋的编排方式，但函数仍然是中学生感到最难学的内容，造成函

3、数学习困难有以下三方面的因素。（一）函数本身的复杂性函数在中学数学中最具复杂性，这是造成学生学习困难的主要因素。函数包含两个本质属性（定义域与对应法则）和较多的非本质属性（如值域、自变量、因变量、集合等）；初中函数“变量说”定义中的文字“y是x的函数，记作y=f(x)”属于蕴涵式的表述且符号抽象；函数涉及“变量”，而“变量”的本质是辩证法在数学中的运用；函数还具有多种表示法，如解析法、列表法、图象法、箭头法；函数与其他内容有错综复杂的联系；等等。函数的这些复杂性决定了函数学习困难的必然性，其学习困难主要表现在以下几个方面。1.函数变量理解的困难变量是数

4、学中一切抽象事物的建筑材料，但是让学生理解变量的内涵并不容易。笔者曾对学习过函数的300个初三学生作过一个调查：请指出圆的周长与半径的函数关系式l=2π·r中的变量。调查结果是：有83个学生认为l、π、r都是变量（追问为什么，答：凡是字母都可以变）；有97个学生认为只有r是变量，（追问为什么，答：l是r的函数，π是圆周率，所以只有r是变量）；有59个学生认为只有π是变量（追问为什么，答：l是自变量、r是因变量，只剩下π一个字母可以变了）；有57个学生认为l、r是变量；有4个学生没有回答。大部分学生不能正确地理解变量，一方面有教学的原因：在教学实践中，教

5、师常常对学生理解变量的困难估计不足，另一方面纵观中学数学内容，在函数学习之前，基本上是常量数学时期的内容，学生对变量的理解困难也是很正常的。2.函数符号抽象的困难接受函数符号的抽象表示也是一个难点。在某中学，教师讲完函数的定义后，给出了通常的表示法y=f(x)，下课后竟有多个学生问教师：f和x是不是乘的关系？学生虽然学习了函数的定义，有的甚至能背诵，但没有理解函数的真实意义。有教师认为教学时不要直接说“通常我们把y是x的函数表示为：y=f(x)”，而可以说“f代表自变量和因变量之间的对应关系，对于定义域内任意的x（这时在黑板上写下‘x’），通过对应关系

6、f（在黑板上写出‘f（）’，刚才的x被括号括在内），对应出唯一的一个y（在黑板上刚才的式子前写下‘y=’）”，这样就写出了表达式y=f(x)。这一改进可以避免学生产生错觉。笔者曾经作过调查，超过90%的中学生弄不清究竟函数是指f，是f(x)，还是y=f(x)。许多学生高中毕业了也没有真正弄明白y=f(x)到底是什么—原因是符号f具有“隐蔽性”，其具体内容不能从符号上得到体现—中学生的思维水平还缺乏足够的为f建立起具体内容的经验。3.函数图象运用的困难数与形是数学的两方面，有了直角坐标系以后数与形统一了，因此用图象方法研究函数的各种性质似乎很自然。但对学

7、生来说并非如此。虽然大多数学生能够作简单的图象，但是他们常常把函数图象看成为函数之外的东西，没有把它当成函数的一个有机组成部分。如，学生很不习惯把函数变换f(x)±k,f(±kx),

8、f(x)

9、,f(

10、x

11、),f2(x),等与图形变换（如轴对称、中心对称）联系起来。要使中学生把函数的图象作为函数的一个有机组成部分并不容易，实际上，在函数学习之前，学生对数与形的学习基本上是分开进行的，学习中只需要对数或形进行单一的思维即可。函数要求思维在符号语言与图形语言之间进行灵活转换，而中学生形象化意识（数形结合思想）的形成需要较长的过程。（二）中学生思维发展水平函

12、数的学习困难与中学生思维发展水平有关，［1］中学生数学思维发展水平的制约是其内在因素。要求学生