青科大信号与系统第七章 系统函数

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1、第七章系统函数本章主要内容：第七章系统函数系统函数与系统特性系统的因果性和稳定性信号流图系统的结构第七章系统函数7.1系统函数与系统特性一、系统函数的零、极点分布图LTI系统的系统函数是复变量s或z的有理分式，即A(.)=0的根p1，p2，…，pn称为系统函数H(.)的极点；B(.)=0的根1，2，…，m称为系统函数H(.)的零点。将零极点画在复平面上得零、极点分布图。例7.1系统函数与系统特性举例已知H(s)的零、极点分布图如下所示，并且h(0+)=2。求H(s)的表达式。解:由分布图可得根据初值定理，有二、系统函数H(·)与时域响应1.连续因果系统7.1系统函数与系统特性讨论

2、H(·)极点位置与其所对应响应（自由响应、冲激响应等）的函数形式。极点位置分三种情况位于S左半平面位于虚轴上位于S右半平面7.1系统函数与系统特性极点位于左半平面以上三种情况：当t→∞时，响应均趋于0。暂态响应。极点形式A(s)所含因子响应函数p=–α(α>0)(s+α)Ce-αtε(t)p12=-α±jβ[(s+α)2+β2]Ae-αtcos(βt-θ)ε(t)(s+α)r或[(s+α)2+β2]r重极点Citie-αtε(t)或Aitie-αtcos(βt+θ)ε(t)(i=0,1,2,…,r-1)7.1系统函数与系统特性极点位于虚轴上稳态响应递增响应极点位于右半平面分析同左半平面

3、，三种情况下：当t→∞时，响应均趋于∞。递增响应p=0或p12=±jβs或s2+β2Cε(t)或Acos(βt-θ)ε(t)重极点sr或(s2+β2)rCitiε(t)或Aiticos(βt+θ)ε(t)(i=0,1,2,…,r-1)极点形式A(s)所含因子响应函数7.1系统函数与系统特性结论LTI连续因果系统自由响应、冲激响应的函数形式由H(s)的极点确定。H(s)在左半平面的极点所对应的响应函数为衰减的。即当t→∞时，响应均趋于0。暂态响应H(s)在虚轴上的一阶极点所对应的响应函数为稳态响应。H(s)在虚轴上的高阶极点或右半平面上的极点，其所对应的响应函数都是递增的。即当t→∞时，

4、响应均趋于∞。递增响应7.1系统函数与系统特性2.离散因果系统H(z)按其极点在z平面上的位置可分为:在单位圆内、在单位圆上和在单位圆外三类。根据z与s的对应关系：s平面z平面H(z)在单位圆内的极点所对应的响应序列为衰减的。即当k→∞时，响应均趋于0。暂态响应H(z)在单位圆上的一阶极点所对应的响应序列为稳态响应。H(z)在单位圆上的高阶极点或单位圆外的极点，其所对应的响应序列都是递增的。即当k→∞时，响应均趋于∞。递增响应结论7.1系统函数与系统特性7.1系统函数与系统特性三、系统函数与频率响应H(jω)=H(s)

5、s=jω频率响应：极点位置：均在左半开平面，收敛域包含虚轴。连续因

6、果系统离散因果系统极点位置：均在单位圆内，收敛域包含单位圆。频率响应：有H(ejθ)=H(z)

7、z=ejθ式中θ=ωTs，ω为角频率，Ts为取样周期。7.1系统函数与系统特性举例例：某离散因果系统的系统函数：求其频率响应。解：收敛域包含单位圆，故7.1系统函数与系统特性系统的幅频特性：系统的相频特性：系统的频率响应：第七章系统函数7.2系统的因果性与稳定性一、系统的因果性因果系统是指，系统的零状态响应yzs(.)不会出现于f(.)之前的系统。连续因果系统的充分必要条件是：h(t)=0,t<0或者，系统函数H(s)的收敛域为：Re[s]>σ0离散因果系统的充分必要条件是：h(k)=0,k

8、<0或者，系统函数H(z)的收敛域为：

9、z

10、>ρ07.2系统的因果性与稳定性二、系统的稳定性稳定系统的定义一个系统，若对任意的有界输入，其零状态响应也是有界的，则称该系统是有界输入有界输出(BIBO)稳定的系统，简称为稳定系统。即，若系统对所有的激励

11、f(.)

12、≤Mf，其零状态响应

13、yzs(.)

14、≤My，则称该系统稳定。7.2系统的因果性与稳定性稳定系统的充要条件连续系统：若H(s)的收敛域包含虚轴，则必是稳定系统。离散系统：若H(z)的收敛域包含单位圆，则必是稳定的系统。绝对可积绝对可和7.2系统的因果性与稳定性举例例1y(k)+1.5y(k-1)-y(k-2)=f(k-1)(1)若

15、为因果系统，求h(k)，并判断系统是否稳定。(2)若为稳定系统，求h(k)。解：(1)为因果系统，故收敛域为

16、z

17、>2，所以h(k)=0.4(0.5)kε(k)+0.4(-2)kε(-k-1)h(k)=0.4[0.5k-(-2)k]ε(k)不稳定。(2)为稳定系统，故收敛域为0.5<

18、z

19、<2，所以复习系统函数零极点分布图系统函数与频率响应连续因果系统离散因果系统因果系统、稳定系统的充要条件7.2系统的因果性与稳定性因果稳定系统的充要条件连续因