青科大信号与系统第三章 离散系统的时域分析

《青科大信号与系统第三章 离散系统的时域分析》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第三章离散系统的时域分析本章主要内容：LTI离散系统的响应单位序列响应和单位阶跃响应卷积和第三章离散系统的时域分析3.1LTI离散系统的响应一、差分与差分方程一阶前向差分f(k)=f(k+1)–f(k)一阶后向差分f(k)=f(k)–f(k–1)差分运算的线性性质第三章离散系统的时域分析∆和为差分算子[af1(k)+bf2(k)]=af1(k)+bf2(k)3.1LTI离散系统的响应二阶（后向）差分：2f(k)=[f(k)]=[f(k)–f(k-1)]=f(k)–f(k-1)=f(k)–f(k-1)–[f(k-1)

2、–f(k-2)]=f(k)–2f(k-1)+f(k-2)类似可定义高阶差分差分方程的数值解已知初始条件和激励，可用迭代法求得差分方程的数值解。3.1LTI离散系统的响应差分方程包含未知序列y(k)及其各阶差分的方程式称为差分方程。将差分展开为移位序列，得一般形式y(k)+an-1y(k-1)+…+a0y(k-n)=bmf(k)+…+b0f(k-m)3.1LTI离散系统的响应例：若描述某系统的差分方程为y(k)+3y(k–1)+2y(k–2)=f(k)已知y(0)=0，y(1)=2，激励f(k)=2kε(k)，求y(k)。解：将y(k)以外

3、的各项移至等号右端，有：y(k)=–3y(k–1)–2y(k–2)+f(k)对于k=2，将初始值y(0)=0、y(1)=2代入得：y(2)=–3y(1)–2y(0)+f(2)=–2依此类推，得：y(3)=–3y(2)–2y(1)+f(3)=10y(4)=–3y(3)–2y(2)+f(4)=–10……一般不易得到解析形式的(闭合)解。3.1LTI离散系统的响应二、差分方程的经典解y(k)+an-1y(k-1)+…+a0y(k-n)=bmf(k)+…+b0f(k-m)经典解形式与微分方程的经典解类似：y(k)=yh(k)+yp(k)全解齐次解

4、特解齐次解是齐次差分方程的解，取决于特征根。特解与激励函数的形式有关。全解是齐次解与特解之和。3.1LTI离散系统的响应差分方程的齐次解齐次方程：y(k)+an-1y(k-1)+…+a0y(k-n)=0特征方程：1+an-1λ–1+…+a0λ–n=0即：λn+an-1λn–1+…+a0=0特征根：特征方程的解λi(i=1，2，…，n)。不同特征根所对应的齐次解见表3-1。3.1LTI离散系统的响应差分方程的特解激励f(k)=km(m≥0）所有特征根均不等于1：yp(k)=Pmkm+…+P1k+P0有r重等于1的特征根：yp(k)=kr[P

5、mkm+…+P1k+P0]激励f(k)=ak当a不等于特征根：yp(k)=Pak当a是特征单根：yp(k)=Pkak当a是r重特征根：yp(k)=Pkrak激励f(k)=cos(βk)或sin(βk)所有特征根均不等于e±jβ：yp(k)=Pcos(βk)+Qsin(βk)3.1LTI离散系统的响应例：若描述某系统的差分方程为y(k)+4y(k–1)+4y(k–2)=f(k)已知初始条件y(0)=0，y(1)=–1；激励f(k)=2k，k≥0。求方程的全解。齐次差分方程：y(k)+4y(k-1)+4y(k-2)=0其特征方程为：λ2+4λ

6、+4=0其特征根为：λ1=λ2=–2齐次解为：yh(k)=(C1k+C0)(-2)k（由表3-1）解：求齐次解3.1LTI离散系统的响应求特解由表3-2可知，当f(t)=2k时，其特解可设为：yp(k)=P(2)k将其代入差分方程得：P(2)k+4P(2)k–1+4P(2)k–2=2k解得P=1/4，于是特解为：yp(k)=2k–2k≥0求全解全解：y(k)=yh(k)+yp(k)=(C1k+C0)(-2)k+2k–2代入初始条件：y(0)=C0+2–2=0y(1)=(C1+C0)(-2)+2–1=-1解得C0=-1/4，C1=1最后得全

7、解：y(k)=(k–1/4)(-2)k+2k–2，k≥03.1LTI离散系统的响应三、零输入响应和零状态响应零输入响应：y(k)=yzi(k)+yzs(k)全响应零输入响应零状态响应初始值的确定零状态响应：初始状态再利用迭代法递推求得零输入响应和零状态响应初始值yzi(0)、yzi(1)和yzs(0)、yzs(1)3.1LTI离散系统的响应例：若描述某离散系统的差分方程为y(k)+3y(k–1)+2y(k–2)=f(k)已知激励f(k)=2k,k≥0，初始状态y(–1)=0,y(–2)=1/2,求系统的零输入响应、零状态响应。解：（1）零

8、输入响应yzi(k)yzi(k)满足方程yzi(k)+3yzi(k–1)+2yzi(k–2)=0其初始状态为：yzi(–1)=y(–1)=0yzi(–2)=y(–2)=1/2首先递推求出初始值