概率论与数理统计-2.2连续型随机变量及其分布

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1、§2.2连续型随机变量及其分布1.连续型随机变量2.均匀分布3.指数分布4.正态分布1在前面我们学习一类离散型随机变量，主要特点是它仅取有限或可数个值，并且取每个值的概率大于0.但在实际问题中，我们时常需要考虑另外一类随机变量.如：（1）随机地向区间[0,1]上投点，其落点的位置，可在[0,1]上取值；（2）日光灯泡的使用寿命可在[0,+∞)上取值等.更为重要的是，它们取每个给定值的可能性均为0.这时，我们该怎样刻画这些随机变量呢？1.连续型随机变量2定义2.2.1设随机变量X的分布函数为F(x)，若存在非负可积函数f(x)，使得对于任意实数x，都有则称X为连续型随机变量，称f(x)为X的

2、概率密度函数（ProbabilityDensityFunction），简称概率密度或密度函数.3由定义可知，连续型随机变量X的分布函数F(x)在x点的函数值等于其概率密度函数f(x)在区间(-∞,x]上的积分，故同时，密度函数f(x)反映了概率在x点附近的“密集程度”，所以用密度函数描述连续型随机变量的概率分布与离散型随机变量用分布列描述，在某种意义上有相似之处。4一个连续型随机变量的分布由它的密度函数所决定，F(x)的值在几何上可以表达为t轴以上曲线y=f(t)以下直线t=x以左部分的面积.5类似于离散型随机变量，连续型随机变量X的概率密度函数f(x)具有如下基本性质：反过来，若已知一个

3、函数f(x)满足上述性质(1)和(2)，则一定是某连续型随机变量X的概率密度函数．6另外，对连续型随机变量X的分布，还具有如下性质：1.对于任意实数2.即X落在区间的概率为密度函数y=f(x)与直线x=a,x=b及x轴所围面积.73.连续型随机变量X取任一确定值a的概率为0从而即，在计算连续型随机变量X落在某一区间的概率时，可不必区分是开区间、闭区间还是半开半闭区间。8概率为零的事件未必是不可能事件；注意概率为1的事件也不一定是必然事件事件A是不可能事件事件A是必然事件9(1)0≤F(x)≤1,－∞＜x＜＋∞,(2)F(x)是x的单调不减函数;(3)连续型随机变量的其它若干结论10例:设随

4、机变量X的密度函数为求分布函数F(x).11解：f(x)的图形如图12从而得其图像为13例:设随机变量X的密度函数为(1)确定常数A(2)计算概率解由密度函数性质14例:某批晶体管的使用寿命X(以小时计)具有密度函数任取其中5只，求:使用最初150小时内，无一晶体管损坏的概率.(2)使用最初150小时内，至多有一只晶体管损坏的概率.15解任一晶体管使用寿命超过150小时的概率为设Y为任取的5只晶体管中使用寿命超过150小时的晶体管数，则Y~故有16练习1:试确定常数a，使为某个随机变量X的概率密度，且计算事件{1.5

5、012345yxx2解01511解a=218两种类型的比较:连续型1.概率密度f(x):2.4.P(aa)=1-F(a);P(X=a)=F(a)-F(a-0)4.P(X∈A)=5.F(x)有可列个间断点,且右连续5.F(x)连续,且P(X=a)=019几种常见的连续型随机变量的分布均匀分布指数分布正态分布202.均匀分布定义：若连续型随机变量X的概率密度为则称X在区间[a，b]上服从均匀分布

6、．记为X~U[a,b]分布函数为21密度函数f(x)与分布函数F(x)的图形如图2.2.2和图2.2.3所示22意义：0abxX“等可能”地取区间[a,b]中的值，这里的“等可能”理解为：X落在区间[a,b]中任意等长度的子区间内的可能性是相同的。或者说X落在子区间内的概率只依赖于子区间的长度而与子区间的位置无关。即X取值在[a,b]上是均匀的。230abx[]cd若X在[a,b]上服从均匀分布，对区间内的任一个区间[c,d]，有24例2102电车每5分钟发一班，在任一时刻某一乘客到了车站.求乘客候车时间不超过2分钟的概率.解1：设随机变量X为候车时间，则X～U[0,5]均匀分布，故解2（

7、几何概率）02525例设随机变量X服从[-1,2]区间上的均匀分布，求X的分布函数.解如图:-12-213F(1)xf(x)(1)x<-1时,(2)-1≤x<2时,(3)2≤x时,分布函数为26分布函数为3.指数分布定义若连续型随机变量X的概率密度为其中λ>0，则称X服从参数为λ的指数分布.27指数分布的密度函数f(x)与分布函数F(x)的图形如图2.2.4和图2.2.5所示λ28注:在应用中，寿命问题常看作近似服从指数