概率论与数理统计05常见连续型分布

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1、第二章随机变量及其分布第三讲常见的连续性随机变量的分布导读内容1、常用连续型随机变量的分布有哪些？它们的概率密度函数是怎样的？2、均匀分布、正态分布和指数分布有哪些重要应用？如何解决实际问题？请查找资料举例说明。(1)均匀分布常见的连续性随机变量的分布若X的概率密度函数为则称X服从区间(a,b)上的均匀分布或称X服从参数为a,b的均匀分布，记作*显然，且*对于中任一子区间，有即X落在中任一子区间中的概率只与区间长度有关,而与位置无关,这反映了某种“等可能性”,即在区间上“等可能取值”例1:设连续型随机变量X在[a,b]上服从均匀分布，求其分布函数.解因为所以当　　　　时当　　　　时

2、当　　　　时即０１xf(x)abxF(x)ba例2宁波的３６３路公共汽车每隔15分钟一趟，若一乘客到某站点的时间是随机的，问其候车时间超过8分钟的概率是多少？解设X为候车时间，则X在[0,15]上服从均匀分布，其概率密度函数为0≤x≤15其他(2)指数分布若的概率密度函数为则称服从参数为的指数分布，记作>0为常数*显然，且容易求得，指数分布的分布函数为应用场合用指数分布描述的实例有：随机服务系统中的服务时间电话问题中的通话时间无线电元件的寿命动物的寿命指数分布常作为各种“寿命”分布的近似例3假设某元件的寿命服从参数=0.0015的指数分布，求它使用1000小时后还没有坏的概率

3、.解设X为该元件的寿命，则解（1）（2）故又把指数分布称为“永远年轻”的分布(3)正态分布若随机变量的概率密度函数为则称服从参数为,2的正态分布记作~N(,2)为常数，正态分布是德国数学家高斯在研究误差理论时得到的，故正态分布也称为高斯分布.Xf(x)的性质：1.图形关于直线x=对称,即且在x=时,f(x)取得最大值2.在x=±时,曲线y=f(x)在对应的点处有拐点3.曲线y=f(x)以x轴为渐近线4.曲线y=f(x)的图形呈单峰状f(+x)=f(-x)正态分布图象—位置参数即固定,对于不同的,对应的f(x)的形状不变化，只是位置不同。—形状参数固定，

4、对于不同的，f(x)的形状不同.若1<2则附近值的概率更大。前者取服从正态分布的指标有什么特点一般说，若影响某一数量指标的随机因素很多，而每个因素所起的作用都不太大，则这个指标服从正态分布.为什么叫“正态”分布正态分布密度呈现“中间高，两头低”的形态，它描述了自然界大量存在的随机现象，所以正态分布是自然界的一种“正常状态(normal)”的分布.问题问题正态分布具有许多良好的性质，许多分布可用正态分布来近似，在数理统计中解决实际问题时用得最多的就是正态分布或与正态分布有关.Ox-8-7-6-5-4-3-2-112345678这是什么曲线?高尔顿钉板试验可用正态变量描述的实例

5、极多：各种测量的误差；炮弹弹着点；工厂产品的尺寸；农作物的收获量；海洋波浪的高度；金属线抗拉强度；一个地区的家庭年收入；一个班的某门课程的考试成绩；成年人的各种生理指标：身高、体重、血压、视力、智商等气象中的月平均气温、湿度、降水量等分布函数其值有专门的表供查.（4）标准正态分布N(0,1)密度函数因此，当X～N(0,1)，有注：将的数值列成表格，则计算服从标准正态分　　布的随机变量X落在某个区间内的概率只需直接查表，而无需每次去计算定积分其查表的方法如下：（1）（２）（３）例１设X～N(0,1)，利用的数值表计算：解故服从正态分布的随机变量X的概率可以通过查正态分布表求得.定理：

6、若则一般正态分布概率的计算解补充1：3原理设X~N(,2),求解注：一次试验中,X落入区间(-3,+3)的概率为0.9974,而超出此区间可能性很小。补充2：标准正态分布的上分位数z设X~N(0,1),0<<1,称满足的点z为X的上分位数z常用数据解所以查表得从而解所求的d应满足由于Φ(x)为单增函数，查表知即例4:将一温度调节器放置在贮存着某种液体的容器内,调节器设定在d℃,液体的温度X(以℃计)是随机变量,且X~N(d,0.52).若要求保持液体的温度至少为80℃的概率不低于0.99,问d至少为多少?