线性定常最优反馈系统的稳定性

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1、线性定常最优反馈系统的稳定性

2、第1摘　要：利用线形定常系统能观性的格拉姆判据及Lyapunov稳定性理论，讨论线性定常最优反馈系统的稳定性问题。关键词：线性定常系统；最优控制反馈系统；稳定性；Lyapunov1　问题的提出　　已知线性定常系统和二次型性能指标：500)this.style.ouseg(this)">其中A，B，Q，R都是适当维数的常数矩阵，并且Q是非负定对称矩阵，R是正定矩阵，从允许u(t)∈RT中求一最优控制u(t)，使性能指标最小，但是最优控制u(t)能否保证最优控制系统渐进稳定，这是人们关心的问题。2　最优轨线的确定　　由于u(t)不受约束，

3、因此：500)this.style.ouseg(this)">的解。3　稳定性分析按照定常状态调节器方法，综合出来的系统是状态反馈的闭环系统。500)this.style.ouseg(this)">现在分析闭环系统式(3)的渐进稳定性。　　引理1　［A，D］完全能观测是使K成为正定矩阵的充要条件，其中，D是使DTD＝Q成立的任意矩阵。(1)证明充分性　　充分性就是［A，D］完全能观测，导致P是正定矩阵。反设K非正定，因此，对于非零x(t0)＝x0有：500)this.style.ouseg(this)">　　性能指标为0的惟一情况是被积函数为0，这就要求在积分区间

4、内最优控制u(t)＝0，此时系统状态为：500)this.style.ouseg(this)">　　根据格拉姆矩阵判据可得［A，D］不能完全观测，这个结果和［A，D］能完全观测的假设相矛盾，从而证明K是正定的。(2)证明必要性　　所谓必要性即是当K是正定矩阵时，［A，D］必是完全能观测的。反设［A，D］不是完全能观测的，即对于t∈［t0，∞］，500)this.style.ouseg(this)">非零x0必有：500)this.style.ouseg(this)">将式(6)、式(7)代入式(1)得性能指标：500)this.style.ouseg(this)"

5、>500)this.style.ouseg(this)">500)this.style.ouseg(this)">下面证明系统(1)的稳定性：取V(x)＝xTKx　　已知K是正定矩阵，所以引理(1)和引理(2)显然满足，取V(x)对t的导数：500)this.style.ouseg(this)">500)this.style.ouseg(this)">500)this.style.ouseg(this)">上述论证表明：标量函数V(x)＝xTKx是Lyapunov函数，闭环系统是渐进稳定的。4　结　语　　(1)［A，D］完全能观测是使K成为正定矩阵的充要条件；其中

6、D是DTD＝Q的任意矩阵，因此D的分解并非惟一，从根本上说是由Q本身决定的。　　(2)只要满足［A，D］完全能观测，则D的选择是非惟一性的，由DTD＝Q可知加权阵Q的选择也非惟一；这样必然存在一个解Q，使LQ最优控制具有更好的鲁棒性，这一问题有待于进一步研究。　　(3)只要满足Riccati方程的K是正定矩阵，那么由构成的标量函数V＝(x)＝xTKx正是Lyapunov函数，当Q为半正定，R为正定时，闭环系统是渐进稳定的。