高等数学2知识点总复习

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1、高等数学总复习知识点1.数量积、向量积、夹角余弦；知识点1.数量积、向量积、夹角余弦；////解解知识点2：平面及其方程（三种形式）平面的点法式方程:平面的一般方程:平面的截距式方程:两平面夹角余弦公式://取法向量化简得所求平面方程为解设平面为由所求平面与已知平面平行得（向量平行的充要条件）解化简得代入体积式所求平面方程为知识点3：空间直线及其方程空间直线的一般方程:直线的参数方程:直线的对称式方程:^两直线的夹角公式平面:垂直：平行：夹角公式：直线:机动目录上页下页返回结束知识点3：空间直线及面线间的关系方程例.求直线与

2、平面的交点.提示:化直线方程为参数方程代入平面方程得从而确定交点为（1，2，2）.机动目录上页下页返回结束解所求直线方程方法2:设练习:设有直线与则L1与L2的夹角为[注]L1和L2的方向向量分别为和知识点4：二元函数的定义域与极限例6求的定义域．解所求定义域为例7求极限解其中求极限:知识点5：二元函数求偏导数；多元复合函数链式法则:特殊地即令其中两者的区别区别类似例解:机动目录上页下页返回结束例.设F(x,y)具有连续偏导数,解利用偏导数公式.确定的隐函数,则已知方程机动目录上页下页返回结束故多元函数连续、可导、可微的关

3、系函数可微函数连续偏导数连续函数可导2、二元函数f(x，y)在点（x0，y0)处两个偏导数存在，是f(x，y)在该点连续的（A）充分条件而非必要条件（B）必要条件而非充分条件（C）充分必要条件（D）既非充分条件又非必要条件5、二元函数在点(0,0)处(A)连续、偏导数存在（B）连续、偏导数不存在(C)不连续、偏导数存在（D）不连续、偏导数不存在偏导数存在，又当（x，y）沿y=kx趋向于（0，0）时随着k的不同，该极限值也不同，所以极限不存在，f(x，y)在（0，0）不连续。解解解令记同理有于是解令练习:设,求解令则知识点6：

4、多元函数微分学的几何应用1.曲线切线方程:2.曲线的法平面：3.切平面方程:4.曲面的法线方程为:解切平面方程为法线方程为5.方向导数与梯度（归纳）：求曲线的切线及法平面(关键:抓住切向量)求曲面的切平面及法线(关键:抓住法向量)机动目录上页下页返回结束求函数的方向导数和梯度一、方向导数设函数zf(x,y)在点P0(x0y0)的某一邻域U(P0)内有定义l是xOy平面上以P0(x0y0)为始点的一条射线与l同方向的单位向量为el(coscos)存在,则称此极限为函数f(x,y)在点P0沿方向l的方向导数,

5、记为取P(x0tcosy0tcos)U(P0)如果极限方向导数一、方向导数设函数zf(x,y)在点P0(x0y0)的某一邻域U(P0)内有定义l是xOy平面上以P0(x0y0)为始点的一条射线与l同方向的单位向量为el(coscos)方向导数方向导数就是函数f(xy)在点P0(x0y0)处沿方向l的变化率一、方向导数设函数zf(x,y)在点P0(x0y0)的某一邻域U(P0)内有定义l是xOy平面上以P0(x0y0)为始点的一条射线与l同方向的单位向量为el(cosco

6、s)方向导数如果函数zf(x,y)在点P0(x0y0)可微分,那么函数在该点沿任一方向l(el(coscos))的方向导数都存在,且有定理(方向导数的计算)>>>讨论函数f(x,y)在点P沿x轴正向和负向,沿y轴正向和负向的方向导数如何?提示函数f(x,y)在点P0沿方向l(el(coscos))的方向导数例求f(xyz)xy2z3xyz在点(112)沿方向l的方向导数其中l的方向角分别为604560解与l同向的单位向量为因为函数可微分且所以fx(112)(y

7、2-yz)

8、(112)-1fy(112)(2xy-xz)

9、(112)0fz(112)(3z2-xy)

10、(112)11二、梯度梯度的定义函数zf(x,y)在点P0(x0y0)的梯度:gradf(x0y0)fx(x0y0)ify(x0y0)j梯度与方向导数如果函数f(xy)在点P0(x0y0)可微分el(coscos)是与方向l同方向的单位向量,则gradf(x0y0)el

11、gradf(x0y0)

12、cos(gradf(x0y0),^el)函数在一点

13、的梯度是这样一个向量,它的方向与取得最大方向导数的方向一致,而它的模为方向导数的最大值.二、梯度梯度的定义函数zf(x,y)在点P0(x0y0)的梯度:gradf(x0y0)fx(x0y0)ify(x0y0)j梯度与方向导数

14、gradf(x0y0)

15、cos(gradf