数列在日常经济生活中的应用学案

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1、数列在日常经济生活中的应用学案！§4　数列在日常经济生活中的应用知能目标解读1.理解常见储蓄如零存整取、定期自动转存、分期付款及利息的计算方法，能够抽象出所对应的数列模型，并能用数列知识求解相关问题.2.能够将现实生活中涉及到银行利率、企业股金、产品利润、人口增长、工作效率等实际问题，抽象出数列模型，将实际问题解决.重点难点点拨重点：用数列知识解决日常经济生活中的实际问题.难点：将现实生活中的问题抽象出数列模型，使问题得以解决.学习方法指导1.零存整取模型银行有一种叫做零存整取的业务，即每月定时存入

2、一笔数目相同的资金，这叫做零存；到约定日期，可以取出全部的本利和，这叫做整取.规定每次存入的钱按单利计算，单利的计算是指仅在原有本金上计算利息，对本金所产生的利息不再计算利息.其计算公式为：利息=本金×利率×存期.如果用符号P代表本金，n代表存期，r代表利率，S代表本金和利息和(以下简称本利和)，则有S=P(1+nr).2.定期自动转存模型（1）银行有一种储蓄业务为定期存款自动转存.例如，储户某月存入一笔1年期定期存款，1年后，如果储户不取出本利和，则银行自动办理转存业务，第2年的本金就是第1年的本

3、利和，即定期自动转存按复利计算.（2）何谓复利？所谓复利，就是把上期的本利和作为下一期的本金，在计算时，每一期的本金的数额是不同的，复利的计算公式为S=P(1+r)n.一般地，一年期满后，借贷者(银行)收到的款额v1=v0(1+a)，其中v0为初始贷款额，a为每年的利率；假若一年期满后，银行又把v1贷出，利率不变，银行在下一年期满后可收取的款额为v2=v1(1+a)=v0(1+a)2;…依次类推，若v0贷出t年，利率每年为a，这批款额到期后就会增到vt=v0(1+a)t.我们指出这里的利息是按每年一

4、次重复计算的，称为年复利.3.分期付款模型分期付款是数列知识的一个重要的实际应用，在现实生活中是几乎涉及到每个人的问题，要在平时的学习中及时发现问题，学会用数学的方法去分析，解决问题，关于分期付款应注意以下问题：(1)分期付款分若干次付款，每次付款的款额相同，各次付款的时间间隔相同；(2)分期付款中双方的每月(年)利息均按复利计算，即上月(年)的利息要计入下月（年）的本金；(3)分期付款中规定：各期所付的款额连同到最后一次付款时所产生的利息和等于商品售价及从购买到最后一次付款的利息和，这在市场经济中

5、是相对公平的.(4)分期付款总额要大于一次性付款总额，二者的差额与多少次付款有关，分期付款的次数（大于或等于2）越多，差额越大，即付款总额越多.注意：目前银行规定有两种付款方式：(1)等额本息还款法；(2)等额本金还款法.等额本金还款法的特点是：每期还款额递减，利息总支出比等额款法少，等额本金还款法还可以按月还款和按季还款，由于银行结息贯例的要求，一般采用按季还款方式.4.本节的规律方法(1)银行存款中的单利是等差数列模型，本息和公式为S=P(1+nr).(2)银行存款中的复利是等比数列模型，本利和

6、公式为S=P(1+r)n.(3)产值模型：原来产值的基础数为N，平均增长率为P，对于时间x的总产值为y=N(1+P)x.(4)分期付款模型：a为贷款总额，r为年利率，b为等额还款数，则b=.5.数列模型在实际问题中的应用数列应用题一般是等比、等差数列问题，其中，等比数列涉及的范围比较广，如经济上涉及利润、成本、效益的增减，在人口数量的研究中也要研究增长率问题，金融问题更要涉及利率问题等.6.建立数学模型的过程解决该类题的关键是建立一个数列模型{an}，利用该数列的通项公式或递推公式或前n项和公式求解

7、问题.基本步骤如下表所示：?知能自主梳理1.(1)单利：单利的计算是仅在原有本金上计算利息，对本金所产生的利息　　，其公式为利息=　　.若以P代表本金，n代表存期，r代表利率，S代表本金和利息和（以下简称本利和），则有　　.（2）复利：把上期末的本利和作为下一期的　　，在计算时每一期本金的数额是不同的.复利的计算公式是　　.2.（1）数列知识有着广泛的应用，特别是等差数列和等比数列.例如银行中的利息计算，计算单利时用　　数列，计算复利时用　　数列，分期付款要综合运用　　、　　数列的知识.（2）解决数

8、列应用题的基本步骤为：①仔细阅读题目，认真审题，将实际问题转化为　　；②挖掘题目的条件，分析该数列是　　数列，还是　　数列，分清所求的是　　的问题，还是　　问题.③检验结果，写出答案.［答案］　1.（1）不再计算利息　本金×利率×存期　S=P(1+nr)　(2)本金　S=P(1+r)n2.(1)等差　等比　等差　等比　（2）①数列模型　②等差　等比　项　求和思路方法技巧命题方向　单利计算问题［例1］　有一种零存整取的储蓄项目，它是每月某日存入一笔相同的金额，这是零存；