复变函数-小结

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1、《复变函数》小结第一章一、复数基本概念及其运算1.复数：，（2）共轭复数：，记作：。性质：；；“”可以是：“”；，（3）复数的模、主辐角、辐角,2.复数的表示代数表示：复数向量点；三角表示：指数表示：.注：是的模，是的任意一个辐角。3.复数的运算四则运算：设有，两个复数：；；；乘幂与方根（利用指数表示、三角表示）设有复数，则;（）Note：①；；8②；；三、复变函数及其运算1.复变函数：。几何意义：把平面上的一个点集平面的一个点集。与实变函数的关系：设，，则可以写成：第二章一、复变函数的导数与微

2、分1.定义：，=；或记作.2．求导法则：四则运算、复合函数求导、反函数求导与一元函数相同；3.微分：；二、解析函数※1.定义：如果函数在点以及点的邻域内处处可导，则称在点解析；2.判别解析函数的方法（1）定义：=（2）Cauchy-Riemann方程：函数在点处可导，在点处可微，且满足柯西-黎曼(Cauchy-Riemann)方程：，注：解析函数求导公式：；（3）解析函数的性质：①在区域D内解析，则在区域D内也解析；②复合函数在D内解析；8③的反函数在值域内解析，且。3.解析函数的构造问题：已知

3、实部函数，求虚部(或者已知虚部v，求实部u)，使得解析，且满足指定的条件。方法1：偏积分=由=，方法2：第二类曲线积分①：②由其中，或；一、初等函数1.指数函数：注：整个复平面解析；2.对数函数：注：各分支在除去原点及负实轴的复平面内连续、解析；3.幂函数：规定注：，处处解析；，（除原点）处处解析有理数+无理数，除去原点及负实轴的复平面内解析、多值；4.三角函数：；注：整个复平面解析；导数公式与实变一样；8第三章一、复变函数的积分的基本概念、性质1.定义=注：表示沿闭曲线C的正方向（逆时针）积分

4、；2.复积分的性质；；；二、复积分的计算1.在内不一定解析：设曲线，，则，其中，注：重要的结论：，（曲线包含）；2.在单连通域内解析：（1）C为D内的任意一条简单闭曲线，则（2）C为D内的任意一条简单曲线，则（3）在单连通域D内解析，D内闭曲线C包含，则，3.在多连通域内解析：注：为逆时针方向；第四章一、复数项级数（其余的概念及性质类似）1.复数列：，其中；Note：收敛，82.敛散性的判别：（1）实部、虚部都收敛；（2），则发散；（3）若收敛，则称绝对收敛。（模）（4）若发散，收敛，则称条件收

5、敛。二、复变函数项级数（其余的概念及性质类似）1.收敛域：标准型收敛圆半径：一般型2.和函数：借助基本展式，通过变形（求导、积分、拆项）求和。三、将函数展成泰勒、洛朗级数（1）根据奇点的个数，将复平面分为几个解析环；（2）根据所借助解析环的范围，将函数变形（拆项、逐项求导、逐项求积），借助，展开。第五章留数一、孤立奇点可去奇点：；阶极点：；note：该条件只能判断是极点；（有限值），则为的阶极点本性奇点：不存在，且不为；二、留数81.留数：设为函数的孤立奇点，将在的去心邻域内展成洛朗级数：称在的

6、留数。记作：，其中，C是的去心邻域内绕的一条简单闭曲线。注：2.留数的计算方法（1）若为的可去奇点，则；（2）若为的1阶极点，若为的阶极点，则；（第三章）（3）由洛朗展式取。（本性奇点）我们在计算的时候要灵活选择方法，不要拘泥于一种方法。三、留数在实定积分计算中的应用1.形如的积分方法：（1）令，则，（2）原式=82.形如，的积分说明：（1），为多项式；（2）分母的次数比分子的次数至少高二次（高一次）；（3）分母无实根。方法：注：：包含所有上半复平面内的奇点的闭曲线，是在上半平面内的孤立奇点。方

7、法：其中，是在上半平面内的孤立奇点。Note：+第七章Fourier变换1.定义：Fourier正变换：FFourier逆变换：F2.性质：①FF⑤F②F⑥F③F⑦F④F3.函数；；；F；F；F；F；F；8第八章Laplace变换1.定义：Laplace变换：L2.性质：①FL⑤L②L⑥L③L⑦L④L3.常用的Laplace变换L；L；L；L；L；L8