金融工程7-维纳过程与伊藤引理2011

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1、1第12章维纳过程和伊藤引理2教学目的与要求掌握随机变量的概念，了解马尔科夫过程的特点，掌握维纳过程的特点和性质，掌握一般维纳过程的特征以及其漂移率和方差率，维纳过程的均值和标准差。掌握Ito过程的特征。3教学重点及难点一、马尔科夫过程与效率市场的关系。二、维纳过程、一般维纳过程与此同时Ito过程的特征，漂移率和方差率，变量的均值与方差。以及这几种过程的内在联系和变化。三、Ito定理及其运用。4期权的估值欧式期权的到期收益Max(ST－X,0)ST不确定，所以期权到期的收益也不确定。期权当期的价值＝？

2、风险中性估值期权当期的价值＝未来收益折现后的期望值c＝E[Max(ST－X,0)]问题ST的分布是怎样的？只有确定ST的分布才能确定c的价值512.1弱式效率市场假说与马尔可夫过程效率市场假说1965年，法玛(Fama)提出了著名的效率市场假说。该假说认为：投资者都力图利用可获得的信息获得更高的报酬；证券价格对新的市场信息的反应是迅速而准确的，证券价格能完全反应全部信息；市场竞争使证券价格从一个均衡水平过渡到另一个均衡水平，而与新信息相应的价格变动是相互独立的。效率市场分类效率市场假说可分为三类：弱式

3、、半强式和强式。弱式效率市场假说认为，证券价格变动的历史不包含任何对预测证券价格未来变动有用的信息，也就是说不能通过技术分析获得超过平均收益率的收益。6半强式效率市场假说认为，证券价格会迅速、准确地根据可获得的所有公开信息调整，因此以往的价格和成交量等技术面信息以及已公布的基本面信息都无助于挑选价格被高估或低估的证券。强式效率市场假说认为，不仅是已公布的信息，而且是可能获得的有关信息都已反映在股价中，因此任何信息(包括“内幕信息”)对挑选证券都没有用处。效率市场假说提出后，许多学者运用各种数据对此进行

4、了实证分析。结果发现，发达国家的证券市场大体符合弱式效率市场假说。7马尔可夫过程弱式效率市场假说可用马尔可夫随机过程(MarkovStochasticProcess)来表述。马尔科夫过程(Markovprocess)是一种特殊类型的随机过程。未来的预测只与变量的当前值有关，与变量过去的历史和变量从过去到现在的演变方式不相关。股价的马尔科夫性质与弱型市场有效性(theweakformofmarketefficiency)相一致：一种股票的现价已经包含了所有信息，当然包括了所有过去的价格记录。如果弱型市场

5、有效性正确的话，技术分析师可通过分析股价的过去历史数据图表获得高于平均收益率的收益是不可能的。是市场竞争保证了弱型市场有效性成立。812.2维纳过程（WienerProcess）布朗运动起源于物理学中对完全浸没于液体或气体中的小粒子运动的描述，以发现这种现象的英国植物学家RobertBrown命名。描述布朗运动的随机过程的定义是维纳(wiener)给出的，因此布朗运动又称维纳过程股价行为模型通常用布朗运动来描述。布朗运动是马尔科夫随机过程的一种特殊形式。9维纳过程（WienerProcess）维纳过程

6、（WienerProcess）性质一：股票价格的变动是一个正态变量与时间的乘积（ε服从标准正态分布）性质二：任意两个不重叠时段的股票价格变动相互独立从性质一，我们知道△z服从正态分布，性质2则隐含z遵循马尔科夫过程。维纳过程/布朗运动的特征股票价格在任意时段变动的均值都为0。股票价格在某一时段变动的方差等于时间的长度10程序：维纳过程的模拟假定股票价格服从普通布朗运动，即dS=μdt+σdz，其中μ和σ均为常数，dz遵循标准布朗运动，也就是说，在短时间Δt后，S值的变化值ΔS为假定股票价格服从几何布朗

7、运动，即dS=μdt+σdz,其中μ和σ均为常数，dz遵循标准布朗运动，也就是说，在短时间Δt后，ln(S)值的变化值Δln(S)为当股票价格服从普通布朗运动时的走势图11当股票价格服从几何布朗运动时的走势图1213股票价格的一般变动一般化的维纳过程变量本身随着时间的推移会有定量的增长a×Δt除了时间价值之外的变动为布朗运动1412.3股票价格的一般变动股票价格的变动股票价格有随时间推移增长的稳定趋势股票“实际”价格变动为布朗运动布朗运动－股票价格指数布朗运动－股票价格上证指数1812.4Ito’sL

8、emmaIto’sLemma假设存在一个伊藤过程：如果G是x和t的函数，即：G=G(x,t)那么：期权及其他衍生证券的价格变动股票价格服从维纳过程：那么：19证明：如前述，假设标的资产价格变动过程服从：其中利用泰勒展开，忽略高阶项，ΔG(x,t)可以展开为20因此，上式可以改写为保留1阶项，忽略1阶以上的高阶项21其中（忽略高阶项）：22因此，可得由此得到代入前述公式可得到伊藤引理。2312.5股票价格的对数正态特性对数正态分布股票价格服从维纳过程股票价