几何教学中关于“a=b”型结论的

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1、几何教学中关于“a=b”型结论的证明线段倍半关系是常见的几何证明.而在初中阶段关于线段倍半关系直接运用的定理有：三角形的中位线定理以及直角三角形中，30°锐角所对的直角边等于斜边的一半直角三角形斜中线定理等，笔者就初三学生一次单元测试中的两道题目，试图对线段倍半关系进行简单探析.　　案例1：如图，已知AE是正方形ABCD中∠BAC的平分线，AE交BC、BD于点E、F，AC、BD相交于点O.求证：OF=CE.　　1.直接利用三角形中位线定理证明　　证明：过点O做OG∥CE，交AE于点G　　∵AO=OC，OG∥CE　　∴OG是△A

2、CE的中位线　　∴OG=CE　　又∵∠OGF=∠DAF=∠OFG=67.5°　　∴OG=OF　　∴OF=CE　　评价：学生在学习了三角形中位线定理后，结合此题中的O点是AC的中点这个条件，最容易想到构造△AEC的中位线OG，转化为证明线段OG=OF即可.　　2.利用相似三角形的相似比证明　　证明：∵∠OAF=∠FAB，∠AOF=∠ABE=90°　　∴△AOF∽△ABE　　∴==①　　又∵∠OAF=∠F

3、AB，∠AFB=∠AEC=112.5°　　∴△ABF∽△ACE　　∴==②　　∵BF=BE　　∴①②得=，即OF=CE　　评价：a=b型结论的等价结论是=，可以借助相似三角形的相似比来解决.寻找相似三角形或构造相似三角形是本题的关键.　　3.利用线段和差b=a+a证明　　证明：　　∵四边形ABCD是正方形　　∴AB=BC=CD=DA，OA=OB=OC=OD　　∵∠DAF=∠DFA=67.5°　　∴DA=DF　　同理：BF=BE　　∵OF=D

4、F-DO，OF=OB-BF　　∴OF+OF=DF-BF　　∴OF+OF=BC-BE∴2OF=CE　　即：OF=CE　　评价：a=b型结论的等价结论还可以是b=a+a，利用线段的和差关系以及线段的等量代换可以证出.　　案例2：已知：等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC.AF是∠BAC的平分线，交BC于点E，BF⊥AE交AE的延长线于点F.求证：AE=2BF.　　思路分析：由于此题条件中没有明显的中点条件，因此利用三角形的中位线定理证明比较困难，能否想到利用相似三角形的相似

5、比来证明呢？图中△BFE与△ACE显然相似，但BF是△BFE的直角边，而AE是△ACE的斜边，明显不对应，于是可以想到构造以BF为斜边的直角三角形，这样就可得方法1.　　1.利用相似三角形的相似比证明　　证明：过F点做FM∥CA交BC于L点，交AB于M点.　　∵FM∥AC∴∠MFA=∠1　　∵∠1=∠2∴∠2=∠MFA　　∴MF=MA　　∵∠BFA=90°∴MB=MF=MA　　∵FM∥AC，MB=MA　　∴BL=LC=BC=

6、AC　　∵∠1=∠3，∠FLB=∠C=90°　　∴△BFL∽△AEC　　∴==，即AE=2BF.　　2.利用直角三角形斜中线定理证明　　证明：做AE的中点M，连接CM.以AB为直径做圆O，则F、C、A、B四点共圆.　　∵∠ACB=90°，MA=ME　　∴CM===AE　　∵∠1=∠2　　∴FB=FC　　∴FB=FC　　又∵∠CFM=∠FMC=45°　　∴CM=CF　　&there

7、4;BF=AE　　即AE=2BF　　评价：利用AE是直角ΔACE的斜边，联想到斜中线定理，转化为证明线段BF=CM即可.　　3.利用折半方法证明　　证明：做AE的中垂线交AB于G，交AE于M，连接EG.　　∵MG垂直平分AE　　∴GE=GA　　∴∠GEA=∠2　　∵∠1=∠2　　∴∠GEA=∠1　　∴EG∥CA　　∴∠BEG=∠C=90°　　∵∠EBG=45°　　∴EB=EG

8、　　∵∠3=∠1　　∴∠3=