活用导数法巧究单调性

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1、活用导数法巧究单调性　　利用导数与函数单调性的关系，研究函数的单调性，求不超过三次的多项式函数的单调区间，已成为命题热点，下面分类导析，期望对读者有所帮助。　　1.准确理解函数的单调性与导数正负的关系　　设函数=在区间（，）内可导，如果恒有＞0，则函数在（，）内是增函数；如果恒有＜0，则函数在（，）内是减函数。　　应该指出的是，对于可导函数来说，＞0是在（，）上为单调增函数的充分不必要条件，＜0是在（，）上为单调减函数的充分不必要条件，如=在Ｒ上为增函数，而=0，所以在=0处不满足＞0.　　2.判断函数的单调性　　一般地，判断函数的单调性，首先应确定函数的

2、定义域，其次通过解不等式＞0确定的的集合，解不等式＜0确定的的集合，要符合，.　　例1研究下列函数的单调性：=-3；　　解析：=3-3=3（+1）（-1）.∵＜-1或＞1时，＞0；-1＜＜1时，＜0.∴=-3有三个单调区间，在（-∞，-1）、（1，+∞）上是增函数，在（-1，1）上是减函数.　　3.求函数单调区间　　求函数的单调区间，就是解一阶导数大于零的不等式3＞0或小于零的不等式＜0，这些不等式的解就是使函数保持单调递增或递减的单调区间。　　例3.求下列函数单调区间：　　分析：为了提高解题的准确性，在利用求导的方法确定函数的单调区间时，必须先求出函数的

3、定义域，然后再求导判断符号。　　解：函数的定义域为≠1.　　解:故　　则时单调递减;时单调递增.　　4.已知单调性求参数的范围　　已知函数在某个区间上单调性求参数的范围，是函数单调性的逆应用，常用逆向思维求解。　　例4.已知函数=3-，∈（0，1]，＞0，若在（0，1）上是增函数，求的取值范围。　　解法1：=3-3，令＞0，即3-3＞0，∴0＜＜（因为＞0），∴的增区间是（0，）.又∵在（0，1）上是增函数，∴（0，1）（0，），∴≥1.∴的取值范围是[1，+∞）.　　解法2：=3-3，∵在（0，1）上是增函数，∴＞0在（0，1）上恒成立.∴3-3＞0，即

4、＞，又∈（0，1），∴∈（0，1），即＞1，又∵当=1时也成立，∴≥1.∴的取值范围为[1，+∞）.　　点评：以上两种解法，法1是从集合关系入手，而法2则转化为一个恒成立问题，各有优点。　　5.思维误区警示　　5.1求单调区间时容易忽略函数定义域而导致错解3　　例５.函数=-的单调减区间是（）　　Ａ.（0，1）Ｂ.（0，1）和（1，+∞）Ｃ.（0，1）和（-∞，1）Ｄ.（0，+∞）　　错解：=-＜0得：＜0，解得{

5、＜-1或0＜＜1}，容易错选Ｃ.　　正确解法：=-＜0，即＜0解得{

6、＜-1或0＜＜1}，又∵函数的定义域为{

7、＞0}，∴0＜＜1.∴选Ａ.　

8、　5.2对条件区间与单调区间不理解而导致错解　　例６.若函数=-+2-5的单调递减区间是（-9，0），求.　　错解：=3-2＜0得＜＜0，∴的单调递减区间是（，0），　　∴（，0）（-9，0），∴≤-9，即≤-.　　错解分析：没看清楚条件，若告诉在（-9，0）上单调递减，则上述解法是正确的，这与告诉递减区间是（-9，0）是不一样的。　　正确解法：=3-2＜0得＜＜0，∴的单调递减区间是（，0），∴=-9，∴=-.　　点评：已知函数在某个区间上的单调性求参数和已知函数的单调区间求参数是不一样的，前者说明某个区间是函数单调区间的子集，而后者说明这个区间即为函数

9、的单调区间。　　3