《非线性规划》word版

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1、非线性规划百科名片  非线性非线性规划是具有非线性约束条件或目标函数的数学规划，是运筹学的一个重要分支。非线性规划是20世纪50年代才开始形成的一门新兴学科。70年代又得到进一步的发展。非线性规划在工程、管理、经济、科研、军事等方面都有广泛的应用，为最优设计提供了有力的工具。目录概述简史实例常见问题数学模型一维最优化方法无约束最优化方法约束最优化方法凸规划二次规划几何规划应用问题参考书目概述简史实例常见问题数学模型一维最优化方法无约束最优化方法约束最优化方法·凸规划·二次规划·几何规划·应用问题·参考书目展开编辑本段概述　　非线性规划　　nonli

2、nearprogramming　　具有非线性约束条件或目标函数的数学规划，是运筹学的一个重要分支。非线性规划研究一个n元实函数在一组等式或不等式的约束条件下的极值问题，且目标函数和约束条件至少有一个是未知量的非线性函数。目标函数和约束条件都是线性函数的情形则属于线性规划。编辑本段简史　　非线性规划是20世纪50年代才开始形成的一门新兴学科。1951年H.W.库恩和A.W.塔克发表的关于最优性条件(后来称为库恩－塔克条件)的论文是非线性规划正式诞生的一个重要标志。在50年代还得出了可分离规划和二次规划的n种解法,它们大都是以G.B.丹齐克提出的解线性

3、规划的单纯形法为基础的。50年代末到60年代末出现了许多解非线性规划问题的有效的算法，70年代又得到进一步的发展。非线性规划在工程、管理、经济、科研、军事等方面都有广泛的应用，为最优设计提供了有力的工具。编辑本段实例　　下面通过实例归纳出非线性规划数学模型的一般形式，介绍有关非线性规划的基本概念。　　例1（投资决策问题）某企业有n个项目可供选择投资，并且至少要对其中一个项目投资。已知该企业拥有总资金A元，投资于第i个项目需花资金ai元，并预计可收益bi元。试选择最佳投资方案。　　解设投资决策变量为    　　则投资总额为∑aixi，投资总收益为∑b

4、ixi。因为该公司至少要对一个项目投资，并且总的投资金额不能超过总资金，故有限制条件    　　另外，由于xi只取值0或1，所以还有    　　最佳投资方案应是投资额最小而总收益最大的方案，所以这个最佳投资决策问题归结为总资金以及决策变量（取0或1）的限制条件下，极大化总收益和总投资之比。因此，其数学模型为：    　　上面例题是在一组等式或不等式的约束下，求一个函数的最大值（或最小值）问题，其中目标函数或约束条件中至少有一个非线性函数，这类问题称之为非线性规划问题，简记为（NP）。可概括为一般形式　　    　　(NP)　　其中x=[x1...x

5、n]称为模型（NP）的决策变量，f称为目标函数，gi和hj称为约束函数。另外，gi(x)=0称为等式约束,hj(x)<=0称为不等式约束。编辑本段常见问题　　对于一个实际问题，在把它归结成非线性规划问题时，一般要注意如下几点：　　（i）确定供选方案：首先要收集同问题有关的资料和数据，在全面熟悉问题的基础上，确认什么是问题的可供选择的方案，并用一组变量来表示它们。　　（ii）提出追求目标：经过资料分析，根据实际需要和可能，提出要追求极小化或极大化的目标。并且，运用各种科学和技术原理，把它表示成数学关系式。　　（iii）给出价值标准：在提出要追求的目标

6、之后，要确立所考虑目标的“好”或“坏”的价值标准，并用某种数量形式来描述它。　　（iv）寻求限制条件：由于所追求的目标一般都要在一定的条件下取得极小化或极大化效果，因此还需要寻找出问题的所有限制条件，这些条件通常用变量之间的一些不等式或等式来表示。编辑本段数学模型　　对实际规划问题作定量分析，必须建立数学模型。建立数学模型首先要选定适当的目标变量和决策变量，并建立起目标变量与决策变量之间的函数关系,称之为目标函数。然后将各种限制条件加以抽象,得出决策变量应满足的一些等式或不等式，称之为约束条件。非线性规划问题的一般数学模型可表述为求未知量x1，x2

7、，…，xn，使满足约束条件：　　gi(x1，…，xn)≥0　i＝1,…,m　　hj(x1，…，xn)＝0　j＝1,…,p　　并使目标函数f(x1，…,xn)达到最小值(或最大值)。其中f，诸gi和诸hj都是定义在n维向量空间Rn的某子集D(定义域)上的实值函数,且至少有一个是非线性函数。　　上述模型可简记为：　　minf(x)　　s.t.gi(x)≥0　i＝1,…,m　　hj(x)＝0j＝1,…,p　　其中x＝(x1，…,xn)属于定义域D，符号min表示“求最小值”，符号s.t.表示“受约束于”。　　定义域D中满足约束条件的点称为问题的可行解。全

8、体可行解所成的集合称为问题的可行集。对于一个可行解x*,如果存在x*的一个邻域，使目标函数在x*处的值f(x*)优于(指不